アトウッドの器械とは？
アトウッドの器械（Atwood machine）は、伸び縮みしない糸で2つのおもりをつなぎ、その糸を滑車にかけた、物理学の定番の装置です。理想的なモデル（滑車も糸も質量がなく、摩擦もない状態）では、重い方のおもりが下向きに加速し、軽い方のおもりが同じ大きさの加速度で上向きに動きます。ニュートンの運動の第2法則を最もシンプルに示せる仕組みのひとつで、実験室で重力加速度を測定するのにも使われます。
この計算ツールの使い方
2つのおもりの質量（kg）と、その場所の重力加速度を入力してください（初期値の 9.81 m/s² は地球上の標準的な重力加速度です）。両方のおもりに共通する加速度の大きさと、つないでいる糸の張力が表示されます。2つの質量が等しい場合はつり合い、加速度はゼロになります。
計算式の解説
それぞれのおもりにニュートンの運動の第2法則を適用し、2つの式を組み合わせます。運動を引き起こす正味の力は重さの差 \((m_1 - m_2)g\) であり、加速される全体の慣性質量は \((m_1 + m_2)\) です。これにより次の式が得られます。
$$a = \frac{\left| \text{m}_1 - \text{m}_2 \right| \cdot \text{g}}{\text{m}_1 + \text{m}_2}$$
この加速度をどちらかのおもりの式に代入すると、糸の張力が求められます。
$$T = \frac{2 \cdot \text{m}_1 \cdot \text{m}_2 \cdot \text{g}}{\text{m}_1 + \text{m}_2}$$
理想的な糸では、この張力は糸のどこでも一定で、つねに2つのおもりそれぞれの重さの間の値になります。
計算例
たとえば \(m_1 = 5 \text{ kg}\)、\(m_2 = 3 \text{ kg}\)、\(g = 9.81 \text{ m/s}^2\) とします。加速度は $$a = \frac{(5 - 3) \cdot 9.81}{5 + 3} = \frac{2 \cdot 9.81}{8} = 2.4525 \text{ m/s}^2$$ です。張力は $$T = \frac{2 \cdot 5 \cdot 3 \cdot 9.81}{8} = \frac{294.3}{8} = 36.7875 \text{ N}$$ となります。つまり、両方のおもりは約 2.45 m/s² で加速し、糸には約 36.8 N の力がかかります。
定数と参照値
\(g\) に入力する値は、重力場の強さを設定します。国際的に定義された標準重力は \(g_0 = 9.80665\ \text{m/s}^2\) で、物理の問題ではほぼ常に \(9.81\ \text{m/s}^2\) に丸められます。地球の表面値は緯度と高度によってわずかに変動し、他の天体ではまったく異なる重力を持っています。
| 場所/天体 | g (m/s²) | 備考 |
|---|---|---|
| 標準重力 (g₀) | 9.80665 | 定義された参照値 |
| 一般的な教科書の値 | 9.81 | 丸められた標準重力 |
| 地球の赤道（海面） | ≈ 9.78 | やや弱い（地球の膨らみと自転） |
| 地球の極（海面） | ≈ 9.83 | やや強い |
| 月 | ≈ 1.62 | 地球の約 1/6 |
| 火星 | ≈ 3.71 | 地球の約 3/8 |
ほとんどの宿題と実験室の作業では、\(g = 9.81\ \text{m/s}^2\) を使用してください。天体固有の値（月、火星）は、問題がそこで明確に起こることが明記されている場合にのみ使用してください。
定義と用語集
- m1 (kg)
- 2つの吊り下げられた質量の最初のもの。このカリキュレーターでは、従来はより重い（下降する）質量ですが、公式の絶対値は順序が結果に影響しないことを意味します。
- m2 (kg)
- コードの反対側の端にある2番目の吊り下げられた質量。より軽い質量は上向きに加速し、より重い質量は下向きに加速します。
- a (m/s²)
- 共有された加速度の大きさ。コードは伸びないため、両方の質量は毎瞬間に同じ速度と加速度で移動します — 1つは上に、1つは下に。
- T (N)
- コードの張力、コードに沿って伝わる引く力。理想的なアトウッド機では、張力は両側で同じであり、2つの重力の間にあります。
- g (m/s²)
- 各質量にその重量 \(W = mg\) を与える局所重力加速度。地球では通常 \(9.81\ \text{m/s}^2\)。
- 伸びない、質量のないコード
- 伸びない理想化されたコード（両方の質量が1つの加速度を共有するため）で、独自の質量がなく、張力が全体で同じです。実際のコードは軽く硬い場合これに近似します。
- 摩擦のない、質量のないプーリー
- 回転慣性と軸摩擦を追加しない理想化されたプーリーで、単にコードをリダイレクトして張力を変更しません。これが両側で同じ \(T\) を可能にします。
よくある質問
2つの質量が等しいとどうなりますか？ 加速度はゼロになり、張力はそれぞれの重さ \((m \cdot g)\) と等しくなります。系はつり合いを保ちます。
滑車の質量や摩擦は考慮されますか？ いいえ。この計算ツールは理想的なアトウッドの器械を想定しています。実際の滑車には質量や摩擦があるため、加速度はわずかに小さくなります。
なぜ張力はつねに2つの重さの間の値になるのですか？ 糸は軽い方のおもりを上向きに加速させなければならず（そのため \(T > m_2 g\)）、同時に重い方のおもりを落下させなければならない（そのため \(T < m_1 g\)）からです。
