ما هي معادلة الاستمرارية؟
تعبّر معادلة الاستمرارية عن مبدأ حفظ الكتلة لمائع غير قابل للانضغاط يتدفق بانتظام داخل أنبوب أو مجرى. ومفادها أن معدل التدفق الحجمي الداخل إلى أي مقطع يجب أن يساوي المعدل الخارج منه، أي: \(A_1 v_1 = A_2 v_2\). فعندما يضيق الأنبوب يضطر المائع إلى التسارع كي يحافظ على نقل الحجم نفسه، وعندما يتسع يتباطأ. تقوم هذه الحاسبة بإيجاد السرعة عند المقطع الثاني \(v_2\) ومعدل التدفق الحجمي \(Q\).
كيفية استخدام الحاسبة
أدخل مساحة المقطع العرضي عند النقطة الأولى (\(A_1\)) بوحدة المتر المربع، وسرعة المائع عندها (\(v_1\)) بوحدة المتر في الثانية، ثم مساحة المقطع العرضي عند النقطة الثانية (\(A_2\)). تحسب الأداة معدل التدفق \(Q = A_1 \cdot v_1\) والسرعة عند المقطع الثاني \(v_2 = Q / A_2\). تعتمد جميع المدخلات على وحدات النظام الدولي المتوافقة، فتأتي النتيجة بوحدة المتر في الثانية.
شرح المعادلة
انطلاقًا من \(A_1 v_1 = A_2 v_2\)، نحسب أولًا معدل التدفق الحجمي \(Q = A_1 \cdot v_1\) (بوحدة م³/ث). وبما أن الكتلة محفوظة والمائع غير قابل للانضغاط، فإن قيمة \(Q\) نفسها تعبر المقطع الثاني، ومن ثم $$v_2 = \frac{Q}{A_2}$$ وكلما صغرت المساحة \(A_2\) زادت السرعة \(v_2\)، وهذا ما يفسّر تسارع تدفق الماء عند فوهة خرطوم المياه.
مثال محلول
لنفترض أن \(A_1 = 0.05\) م²، و\(v_1 = 4\) م/ث، و\(A_2 = 0.02\) م². يكون معدل التدفق $$Q = 0.05 \times 4 = 0.2 \text{ م}^3/\text{ث}$$ أما السرعة عند المقطع الثاني فهي $$v_2 = \frac{0.2}{0.02} = 10 \text{ م/ث}$$ وبما أن مساحة الأنبوب انكمشت إلى 40% من حجمها الأصلي، فقد ارتفعت السرعة بمقدار 2.5 ضعف.
الأسئلة الشائعة
هل تنطبق هذه المعادلة على الغازات؟ تفترض الصيغة البسيطة \(A_1 v_1 = A_2 v_2\) تدفقًا غير قابل للانضغاط، وهو تقريب جيد للسوائل وللغازات منخفضة السرعة. أما في التدفق الانضغاطي عالي السرعة، فلا بد من إدخال التغيرات في الكثافة ضمن الحساب.
ما الوحدات التي ينبغي استخدامها؟ استخدم وحدات النظام الدولي المتوافقة: المساحات بالمتر المربع والسرعات بالمتر في الثانية، فينتج \(Q\) بوحدة م³/ث. يمكنك اعتماد أي نظام وحدات شريطة أن يكون متناسقًا.
هل يمكنني إيجاد \(A_2\) بدلًا من ذلك؟ هذه النسخة تحسب \(v_2\). ولإيجاد المساحة، أعد ترتيب المعادلة لتصبح \(A_2 = A_1 v_1 / v_2\).
