ما هي معادلة الاستمرارية؟
تصف معادلة الاستمرارية مبدأ حفظ الكتلة لمائع غير قابل للانضغاط يتدفق عبر أنبوب أو قناة. وتنص على أن حاصل ضرب مساحة المقطع العرضي في سرعة التدفق يبقى ثابتًا على طول مسار التدفق: \( \text{A}_1 \cdot v_1 = \text{A}_2 \cdot v_2 \). فعندما يضيق الأنبوب، يضطر المائع إلى التسارع؛ وعندما يتسع، يتباطأ. تعمل هذه الحاسبة مع أي مجموعة متناسقة من الوحدات (النظام الدولي افتراضيًا: المساحة بالمتر المربع، والسرعة بالمتر في الثانية، فينتج معدل التدفق بالمتر المكعب في الثانية).
كيفية استخدام الحاسبة
أدخل مساحة المقطع العرضي للمدخل (\( \text{A}_1 \)) وسرعة المدخل (\( v_1 \))، بالإضافة إلى مساحة المخرج (\( \text{A}_2 \)). تقوم الحاسبة بإيجاد سرعة المخرج المجهولة \( v_2 \)، كما تعرض معدل التدفق الحجمي \( Q \). تأكد من أن جميع المساحات تستخدم الوحدة نفسها، وأن السرعتين تستخدمان الوحدة نفسها، حتى تبقى النتيجة متناسقة.
شرح المعادلة
انطلاقًا من \( \text{A}_1 \cdot v_1 = \text{A}_2 \cdot v_2 \)، نحل المعادلة لإيجاد سرعة المخرج:
$$ v_2 = \frac{\text{A}_1 \cdot v_1}{\text{A}_2} $$أما معدل التدفق الحجمي فهو المقدار المشترك بين طرفي المعادلة: $$ Q = \text{A}_1 \cdot v_1 = \text{A}_2 \cdot v_2 $$ ولأن الكتلة محفوظة، يبقى \( Q \) ثابتًا عند كل نقطة في تدفق مستقر غير قابل للانضغاط.
مثال محلول
لنفترض أن الماء يدخل أنبوبًا مساحته \( \text{A}_1 = 0.1 \ \text{م}^2 \) بسرعة \( v_1 = 2 \ \text{م/ث} \)، ثم يضيق الأنبوب إلى \( \text{A}_2 = 0.04 \ \text{م}^2 \). يكون معدل التدفق $$ Q = 0.1 \times 2 = 0.2 \ \text{م}^3/\text{ث} $$ وتكون سرعة المخرج $$ v_2 = \frac{0.2}{0.04} = 5 \ \text{م/ث} $$ وهكذا يتسارع المائع كلما ضاق الأنبوب، تمامًا كما هو متوقع.
الأسئلة الشائعة
هل تنطبق على الغازات؟ بشكل تقريبي فقط. فمعادلة الاستمرارية بصيغتها \( \text{A} \cdot v \) تفترض تدفقًا غير قابل للانضغاط، وهو افتراض دقيق للسوائل وللغازات عند أعداد ماخ المنخفضة.
أي وحدات ينبغي أن أستخدم؟ أي مجموعة متناسقة. فمع المساحة بالمتر المربع والسرعة بالمتر في الثانية، يصدر معدل التدفق \( Q \) بالمتر المكعب في الثانية. ويمكنك استخدام السنتيمتر المربع والسنتيمتر في الثانية إن فضّلت ذلك، فيكون \( Q \) بالسنتيمتر المكعب في الثانية.
لماذا تزداد السرعة عندما يضيق الأنبوب؟ لأن الحجم نفسه من المائع في الثانية يجب أن يمر عبر فتحة أصغر، فيضطر إلى التحرك بسرعة أكبر للحفاظ على ثبات معدل التدفق.
