연속 방정식이란?
연속 방정식은 관이나 수로를 따라 흐르는 비압축성 유체의 질량 보존 법칙을 나타냅니다. 즉, 흐름을 따라 단면적과 유속의 곱이 항상 일정하다는 원리로, \(\text{A}_1 \cdot v_1 = \text{A}_2 \cdot v_2\)로 표현됩니다. 관이 좁아지면 유체는 더 빨라지고, 관이 넓어지면 유체는 느려집니다. 이 계산기는 단위만 일관되게 맞추면 어떤 단위계에서도 사용할 수 있습니다(기본값은 SI 단위: 단면적은 m², 유속은 m/s이며, 유량은 m³/s로 산출됩니다).
계산기 사용 방법
입구 단면적(A₁)과 입구 유속(v₁), 그리고 출구 단면적(A₂)을 입력하세요. 계산기는 미지수인 출구 유속 v₂를 구하고, 체적 유량 Q도 함께 알려줍니다. 결과가 정확하게 나오려면 두 단면적은 같은 단위를 쓰고, 두 유속도 같은 단위를 쓰도록 주의하세요.
공식 풀이
\(\text{A}_1 \cdot v_1 = \text{A}_2 \cdot v_2\)에서 출발해 출구 유속에 대해 정리하면 다음과 같습니다.
$$v_2 = \frac{\text{A}_1 \cdot v_1}{\text{A}_2}$$체적 유량은 양변에 공통으로 나타나는 값입니다. $$Q = \text{A}_1 \cdot v_1 = \text{A}_2 \cdot v_2$$ 질량이 보존되므로, 비압축성 정상 유동에서는 Q가 흐름의 모든 지점에서 동일합니다.
예제 풀이
물이 단면적 \(\text{A}_1 = 0.1 \ \text{m}^2\)인 관으로 \(v_1 = 2 \ \text{m/s}\)의 속도로 들어가고, 관이 \(\text{A}_2 = 0.04 \ \text{m}^2\)로 좁아진다고 가정해 봅시다. 유량은 $$Q = 0.1 \times 2 = 0.2 \ \text{m}^3/\text{s}$$입니다. 출구 유속은 $$v_2 = \frac{0.2}{0.04} = 5 \ \text{m/s}$$가 됩니다. 관이 좁아지면서 유체가 빨라지는데, 이는 예상한 그대로의 결과입니다.
자주 묻는 질문
기체에도 적용되나요? 근사적으로만 가능합니다. 이 A·v 형태의 연속 방정식은 비압축성 유동을 가정하므로, 액체와 저마하수(낮은 마하수)의 기체에서는 정확하게 들어맞습니다.
어떤 단위를 써야 하나요? 일관되기만 하면 어떤 단위 조합이든 괜찮습니다. 단면적을 m², 유속을 m/s로 입력하면 유량 Q는 m³/s로 나옵니다. cm²와 cm/s를 쓰고 싶다면 그렇게 해도 되며, 이때 Q는 cm³/s로 산출됩니다.
관이 좁아지면 왜 유속이 빨라지나요? 초당 같은 양의 유체가 더 작은 입구를 통과해야 하기 때문입니다. 유량을 일정하게 유지하려면 그만큼 더 빠르게 움직일 수밖에 없습니다.
