토리첼리의 정리란?
토리첼리의 정리는 용기에 뚫린 구멍을 통해 유체가 빠져나오는 속도를 설명하는 법칙입니다. 1643년 에반젤리스타 토리첼리가 발견했으며, 마찰이 없고 비압축성인 이상 유체가 구멍을 통해 흘러나올 때의 유출 속도가 구멍 위 유체 표면 높이에서 자유 낙하하는 물체가 도달하는 속도와 같다는 내용입니다. 즉, 베르누이 방정식의 한 특수한 경우라고 볼 수 있습니다.
공식
유출 속도는 다음과 같이 구합니다.
$$v = \sqrt{2gh}$$
여기서 v는 유출 속도(m/s), g는 중력가속도(지구에서는 약 9.81 m/s²), h는 유체의 자유 표면에서 구멍 중심까지의 수직 거리(m)입니다. 흥미롭게도 이 속도는 유체의 밀도와는 무관하며, 오직 구멍 위 유체의 높이에만 의존합니다.
계산기 사용 방법
구멍 위 유체의 높이를 미터(m) 단위로 입력하고, 중력가속도(기본값은 지구의 9.81 m/s²)를 입력하세요. 그러면 계산기가 초당 미터(m/s) 단위의 유출 속도를 알려 줍니다. 다른 행성을 가정하고 싶다면 중력 값만 바꾸면 됩니다. 예를 들어 달은 1.62, 화성은 3.71을 사용하면 됩니다.
예제 풀이
물탱크의 수면이 작은 배수 구멍보다 2미터 위에 있고, g = 9.81 m/s²라고 가정해 봅시다. 그러면 $$v = \sqrt{2 \times 9.81 \times 2} = \sqrt{39.24} \approx 6.26 \text{ m/s}$$가 됩니다. 즉, 물이든 기름이든 그 어떤 이상 유체든 상관없이 약 초속 6.3미터로 분출됩니다.
자주 묻는 질문
구멍의 크기가 영향을 주나요? 토리첼리의 정리가 예측하는 유출 속도는 구멍 크기와 무관합니다. 다만 부피 유량(속도 × 단면적)은 구멍 크기에 따라 달라집니다.
실제로도 이 예측이 정확한가요? 그렇지 않습니다. 실제 유체에는 점성이 있고, 분출되는 물줄기는 수축(축류, vena contracta)하기 때문에 실제 속도는 약간 더 낮습니다. 이를 보정하기 위해 보통 0.6~0.98 정도의 유량 계수를 사용합니다.
왜 밀도가 공식에 나타나지 않나요? 중력 위치 에너지와 운동 에너지 모두 질량에 비례하므로 밀도가 서로 상쇄됩니다. 그 결과 속도는 오직 g와 h에만 의존하게 됩니다.
