반발 계수란?
반발 계수(e)는 충돌이 얼마나 '잘 튀는지'를 나타내는 0과 1 사이의 무차원 수치입니다. 충돌 후 두 물체의 상대 속도를 충돌 전 상대 속도와 비교한 값이죠. e가 1이면 운동에너지가 전혀 손실되지 않는 완전 탄성 충돌, e가 0이면 충돌 후 두 물체가 한 덩어리로 움직이는 완전 비탄성 충돌을 뜻합니다. 우리가 일상에서 보는 대부분의 충돌은 그 중간 어딘가에 해당합니다.
계산기 사용 방법
먼저 방법을 고르세요. 두 물체의 충돌 전후 속도를 알고 있다면 속도로 계산을 선택해 충돌 전 속도 \(u1\), \(u2\)와 충돌 후 속도 \(v1'\), \(v2'\)를 입력합니다. 물체 하나를 고정된 바닥에 떨어뜨려 튀는 경우라면 낙하·튕김 높이로 계산을 선택하고 낙하 높이와 측정한 튕김 높이만 넣으면 됩니다. 입력하는 즉시 \(e\) 값이 나옵니다.
공식 풀이
일반적인 정의는
$$e = \frac{\text{v2}^{\prime} - \text{v1}^{\prime}}{\text{u1} - \text{u2}}$$즉 분리 속도를 접근 속도로 나눈 비율입니다. 정지 상태에서 떨어뜨린 공의 경우 충돌 순간 속도는 \(\sqrt{2g \cdot \text{h}_{\text{낙하}}}\), 튕겨 오를 때 속도는 \(\sqrt{2g \cdot \text{h}_{\text{튕김}}}\)이 되는데, 여기서 \(g\)와 2가 약분되어 간편한 형태인
$$e = \sqrt{\dfrac{\text{h}_{\text{튕김}}}{\text{h}_{\text{낙하}}}}$$만 남습니다.
예제로 살펴보기
농구공을 1 m 높이에서 떨어뜨렸더니 0.64 m까지 튀어 올랐다고 해봅시다. 그러면
$$e = \sqrt{\frac{0.64}{1}} = \sqrt{0.64} = 0.8$$입니다. 즉 접근 속도의 80%가 튕길 때 회복된다는 뜻이죠.
자주 묻는 질문
e가 1보다 클 수 있나요? 일반적인 충돌에서는 불가능합니다. 그렇게 되면 에너지가 새로 생겨난 셈이니까요. 폭발이나 동력이 더해진 충돌 같은 특수한 경우에만 1을 넘는 값이 나타납니다.
높이로 계산할 때는 왜 제곱근이 들어가나요? 높이는 속도의 제곱에 비례하기 때문입니다(에너지 ∝ \(v^2\)). 그래서 속도 비율은 높이 비율의 제곱근이 되죠.
어떤 단위를 써야 하나요? e는 무차원 수치라 속도든 높이든 단위가 서로 일관되기만 하면 무엇이든 괜찮습니다. 두 입력값에 같은 단위만 쓰면 됩니다.
