Что такое бета-распределение?
Бета-распределение — это непрерывное распределение вероятностей, заданное на интервале [0, 1] и определяемое двумя положительными параметрами формы: α (альфа) и β (бета). Поскольку оно «живёт» на единичном отрезке, его удобно использовать для моделирования долей, вероятностей, процентов и частот — например, коэффициента конверсии, доли удачных попыток или неизвестной вероятности успеха в байесовском выводе (бета-распределение является сопряжённым априорным распределением для биномиального).
Как пользоваться калькулятором
Введите два параметра формы \(\alpha\) и \(\beta\) (оба должны быть больше 0) и значение \(x\) в диапазоне от 0 до 1. Калькулятор вычислит плотность вероятности \(f(x)\) в этой точке, а также среднее, дисперсию, стандартное отклонение и моду распределения. Чем больше \(\alpha\), тем сильнее масса смещается к 1; чем больше \(\beta\) — тем ближе к 0; при равных значениях кривая симметрична относительно 0,5.
Разбор формулы
Среднее равно $$\mu = \frac{\alpha}{\alpha+\beta},$$ а дисперсия — $$\sigma^2 = \frac{\alpha\,\beta}{\left(\alpha+\beta\right)^2\left(\alpha+\beta+1\right)}.$$ Плотность вероятности задаётся как $$f(\text{x};\,\alpha,\beta) = \frac{\text{x}^{\,\alpha-1}\left(1-\text{x}\right)^{\beta-1}}{B\!\left(\alpha,\beta\right)},$$ где \(B(\alpha, \beta) = \frac{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}{\Gamma(\alpha + \beta)}\) — бета-функция, нормирующая кривую так, чтобы её полная площадь равнялась 1. Мода (вершина) существует в точке $$\text{Mode} = \frac{\alpha-1}{\alpha+\beta-2},$$ если оба параметра \(\alpha\) и \(\beta\) больше 1.
Разбор примера
Возьмём \(\alpha = 2\), \(\beta = 5\), \(x = 0{,}5\). Среднее равно \(2/7 \approx 0{,}2857\). Дисперсия составляет $$\frac{2\cdot 5}{(7^2)(8)} = \frac{10}{392} \approx 0{,}02551.$$ При \(B(2, 5) = \frac{1}{30}\) плотность равна $$f(0{,}5) = 0{,}5^1\cdot 0{,}5^4 \cdot 30 = 0{,}5^5 \cdot 30 = 0{,}03125 \cdot 30 = 0{,}9375.$$
Частые вопросы
Могут ли \(\alpha\) или \(\beta\) быть меньше 1? Да — значения меньше 1 дают U- или J-образную кривую с резким ростом плотности у концов интервала. В этом случае плотность на границах может быть неограниченной.
Когда бета-распределение становится равномерным? При \(\alpha = \beta = 1\) плотность постоянна и равна 1 на всём отрезке [0, 1] — это в точности совпадает с равномерным распределением.
Почему \(x\) должен лежать между 0 и 1? За пределами отрезка [0, 1] плотность бета-распределения равна нулю, поэтому для таких значений функция плотности \(f(x)\) не определена.
Как параметры формы изменяют распределение
Бета-распределение существует на интервале \([0,1]\) и его вся форма контролируется двумя положительными параметрами формы \(\alpha\) и \(\beta\). Среднее значение всегда равно \(\mu = \dfrac{\alpha}{\alpha+\beta}\), дисперсия равна \(\sigma^2 = \dfrac{\alpha\beta}{(\alpha+\beta)^2(\alpha+\beta+1)}\), а мода (при \(\alpha,\beta>1\)) равна \(\dfrac{\alpha-1}{\alpha+\beta-2}\). В таблице ниже показано несколько классических пар параметров.
| (α, β) | Форма | Среднее = α/(α+β) | Мода | Дисперсия |
|---|---|---|---|---|
| (1, 1) | Равномерное (плоское) на [0,1] | 0.5 | нет (плоское) | 0.0833 |
| (0.5, 0.5) | U-образная форма (масса на обоих концах, арксинус) | 0.5 | 0 и 1 (антимоды) | 0.1250 |
| (2, 2) | Симметричный колокол, остроконечный в центре | 0.5 | 0.5 | 0.0500 |
| (5, 5) | Более узкий симметричный колокол | 0.5 | 0.5 | 0.0227 |
| (2, 5) | Смещенное вправо (масса к 0) | 0.2857 | 0.2 | 0.0255 |
| (5, 2) | Смещенное влево (масса к 1) | 0.7143 | 0.8 | 0.0255 |
Выделяются два закономерности. Во-первых, перестановка \(\alpha\) и \(\beta\) отражает распределение относительно \(x=0.5\), так что (2,5) и (5,2) имеют одинаковую форму и дисперсию, но противоположную асимметрию. Во-вторых, увеличение обоих параметров при сохранении их отношения неизменным (например (2,2) \(\to\) (5,5)) сохраняет среднее значение 0.5, но уменьшает дисперсию, сосредотачивая кривую более плотно вокруг среднего.
Интерпретация результата вашего бета-распределения
Поскольку бета-распределение поддерживается на \([0,1]\), это естественная модель для неизвестной доли, вероятности или частоты. Каждая сводная статистика отвечает на разный вопрос:
- Среднее значение \(\mu=\alpha/(\alpha+\beta)\) — это ожидаемая доля, ваша лучшая одноточечная оценка подлежащей вероятности.
- Мода \((\alpha-1)/(\alpha+\beta-2)\) — это наиболее вероятное значение, т.е. расположение пика плотности. Она существует как внутренний пик только при \(\alpha>1\) и \(\beta>1\); в противном случае масса скапливается на конечной точке.
- Дисперсия и стандартное отклонение измеряют разброс, или насколько большая неопределенность остается в отношении доли. Малое стандартное отклонение означает, что вы уверены, что истинное значение находится близко к среднему.
Величина \(\alpha+\beta\) действует как размер выборки или концентрация: чем она больше, тем меньше дисперсия и тем более резко плотность концентрируется вокруг среднего. Два распределения могут иметь одинаковое среднее значение, но очень разную уверенность — Beta(2,2) и Beta(50,50) оба сосредоточены на 0.5, но последнее намного уже.
В байесовском выводе бета-распределение является сопряженным приором для биномиального (бернуллиева) правдоподобия. Если вы начинаете с априорного распределения Beta(\(\alpha_0,\beta_0\)) и затем наблюдаете \(s\) успехов и \(f\) неудач, апостериорное распределение — это просто Beta(\(\alpha_0+s,\ \beta_0+f\)). С равномерным приором Beta(1,1), \(\alpha\) фактически считает успехи \(+1\), а \(\beta\) считает неудачи \(+1\); апостериорное среднее значение \((s+1)/(s+f+2)\) — это классическое правило последовательности Лапласа.
Наконец, помните, что \(f(x)\) — это вероятностная плотность, а не вероятность. Её значение может превышать 1 (например, рядом с пиком плотно сосредоточенной бета-функции), и только площадь под кривой между двумя точками — никогда не высота в одной точке — дает действительную вероятность. Общая площадь над \([0,1]\) всегда равна 1.
Определения и глоссарий
- α (альфа)
- Первый параметр формы, \(\alpha>0\). В общем смысле это представляет вес "успехов"; большее \(\alpha\) смещает массу к 1.
- β (бета)
- Второй параметр формы, \(\beta>0\). В общем смысле это представляет вес "неудач"; большее \(\beta\) смещает массу к 0.
- Плотность f(x)
- Функция плотности вероятности, \(f(x;\alpha,\beta)=\dfrac{x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}}{B(\alpha,\beta)}\) для \(0\le x\le 1\). Она описывает относительное правдоподобие; вероятности — это площади под ней.
- Бета-функция B(α,β)
- Нормализующая постоянная, \(B(\alpha,\beta)=\displaystyle\int_0^1 t^{\alpha-1}(1-t)^{\beta-1}\,dt=\dfrac{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}{\Gamma(\alpha+\beta)}\). Деление на неё делает плотность интегрируемой в 1.
- Гамма-функция Γ
- Непрерывное расширение факториала, \(\Gamma(n)=(n-1)!\) для положительных целых чисел, определённая в общем случае как \(\Gamma(z)=\int_0^\infty t^{z-1}e^{-t}\,dt\). Она связывает бета и гамма функции выше.
- Среднее значение
- Математическое ожидание, \(\mu=\dfrac{\alpha}{\alpha+\beta}\) — долгосрочное среднее значение доли.
- Дисперсия
- Мера разброса, \(\sigma^2=\dfrac{\alpha\beta}{(\alpha+\beta)^2(\alpha+\beta+1)}\).
- Стандартное отклонение
- Квадратный корень из дисперсии, \(\sigma=\sqrt{\sigma^2}\), выраженное в тех же единицах, что и \(x\).
- Мода
- Наиболее вероятное значение (пик плотности), \(\dfrac{\alpha-1}{\alpha+\beta-2}\) при \(\alpha>1\) и \(\beta>1\).
- Сопряженный приор
- Априорное распределение, которое в сочетании с заданным правдоподобием дает апостериорное распределение из одного семейства. Бета-распределение является сопряженным приором для биномиального/бернуллиева правдоподобия.
- Носитель [0,1]
- Диапазон значений, которые может принимать случайная величина. Бета-распределение определено только на замкнутом интервале \([0,1]\), что делает его идеальным для долей и вероятностей.
