Уравнение прямой, параллельной или перпендикулярной, проходящей через точку

Введите расчет

Угловой коэффициент исходной прямой (m)

Точка x₁

Точка y₁

Тип прямой Parallel Perpendicular

Результатов

Уравнение прямой

y = 2x + 1

форма с угловым коэффициентом

Угловой коэффициент (m)	2
Точка пересечения с осью Y (b)	1

Что вычисляет этот калькулятор

Этот инструмент находит уравнение прямой, которая либо параллельна, либо перпендикулярна прямой с известным угловым коэффициентом m и при этом проходит через заданную точку \((x_1, y_1)\). Ответ выдаётся в привычной форме с угловым коэффициентом — \(y = mx + b\) — вместе с вычисленным наклоном и точкой пересечения с осью Y.

Как пользоваться

Введите угловой коэффициент исходной прямой, координаты точки, через которую должна проходить новая прямая, и выберите, нужна вам параллельная или перпендикулярная прямая. Калькулятор сразу же покажет новый наклон, свободный член и полное уравнение.

Разбираем формулу

Две невертикальные прямые параллельны, если у них одинаковый угловой коэффициент, поэтому новый наклон равен \(m\). Они перпендикулярны, когда произведение их наклонов равно \(-1\), то есть новый наклон — это отрицательное обратное число, \(-\frac{1}{m}\). Отталкиваясь от уравнения прямой через точку $$y - y_1 = m_{\text{new}}(x - x_1),$$ мы раскрываем скобки и приводим его к форме с угловым коэффициентом, где \(b = y_1 - m_{\text{new}} \cdot x_1\). Если исходная прямая горизонтальна (\(m = 0\)), перпендикулярная ей прямая будет вертикальной и записывается как \(x = x_1\).

У параллельной прямой тот же угловой коэффициент; у перпендикулярной он равен отрицательному обратному.

Пример решения

Найдём прямую, перпендикулярную \(y = 2x + 5\) и проходящую через точку \((4, 1)\). Отрицательное обратное к \(2\) — это \(-\frac{1}{2}\), поэтому \(m_{\text{new}} = -0{,}5\). Тогда $$b = 1 - (-0{,}5)(4) = 1 + 2 = 3.$$ Итоговое уравнение: $$y = -0{,}5x + 3.$$

Уравнение в форме «точка-наклон» строится по известной точке и угловому коэффициенту.

Частые вопросы

Что делать, если угловой коэффициент равен нулю? Параллельная прямая остаётся горизонтальной (\(y = \text{const}\)), а перпендикулярная становится вертикальной и записывается как \(x = x_1\), поскольку её наклон не определён.

Должна ли точка лежать на исходной прямой? Нет. Точка лишь задаёт, через какое место проходит новая прямая, и может находиться где угодно на плоскости.

Почему для перпендикуляра берётся отрицательное обратное число? Потому что произведение наклонов двух перпендикулярных прямых равно \(-1\), а значит \(m_{\text{new}} = -\frac{1}{m}\).