किसी बिंदु से गुजरने वाली समानांतर/लंबवत रेखा का समीकरण ज्ञात करें

गणना दर्ज करें

दी गई रेखा का ढाल (m)

बिंदु x₁

बिंदु y₁

संबंध Parallel Perpendicular

परिणाम

रेखा का समीकरण

y = 2x + 1

ढाल-अंतःखंड रूप

ढाल (m)	2
Y-अंतःखंड (b)	1

यह कैलकुलेटर क्या करता है

यह टूल ऐसी सीधी रेखा का समीकरण ज्ञात करता है जो किसी ज्ञात ढाल m वाली रेखा के या तो समानांतर हो या लंबवत, और जो किसी निर्दिष्ट बिंदु (x₁, y₁) से होकर गुजरती हो। यह उत्तर को जाने-पहचाने ढाल-अंतःखंड रूप, \(y = mx + b\), में देता है, साथ ही गणना किया गया ढाल और y-अंतःखंड भी बताता है।

इसका उपयोग कैसे करें

संदर्भ रेखा का ढाल दर्ज करें, उस बिंदु के निर्देशांक लिखें जिससे आपकी नई रेखा को गुजरना है, और चुनें कि आपको समानांतर रेखा चाहिए या लंबवत। कैलकुलेटर तुरंत नया ढाल, y-अंतःखंड और पूरा समीकरण बता देगा।

सूत्र की व्याख्या

दो गैर-ऊर्ध्वाधर रेखाएं समानांतर तब होती हैं जब उनका ढाल समान हो, इसलिए नया ढाल m के बराबर होता है। वे लंबवत तब होती हैं जब उनके ढालों का गुणनफल -1 हो, इसलिए नया ढाल ऋणात्मक व्युत्क्रम यानी \(-1/m\) होता है। बिंदु-ढाल रूप $$y - y_1 = m_{new}(x - x_1)$$ से शुरू करके हम इसे ढाल-अंतःखंड रूप में विस्तृत करते हैं, जहां \(b = y_1 - m_{new} \cdot x_1\)। यदि मूल रेखा क्षैतिज है (m = 0), तो उसके लंबवत रेखा ऊर्ध्वाधर होती है और इसे \(x = x_1\) के रूप में लिखा जाता है।

समानांतर रेखा का ढाल समान होता है; लंब रेखा का ढाल ऋणात्मक व्युत्क्रम होता है।

हल किया गया उदाहरण

बिंदु (4, 1) से गुजरने वाली और \(y = 2x + 5\) के लंबवत रेखा ज्ञात करें। 2 का ऋणात्मक व्युत्क्रम \(-1/2\) है, इसलिए \(m_{new} = -0.5\)। फिर $$b = 1 - (-0.5)(4) = 1 + 2 = 3$$ इसलिए समीकरण है \(y = -0.5x + 3\)।

बिंदु-ढाल रूप एक ज्ञात बिंदु और ढाल का उपयोग कर समीकरण बनाता है।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

यदि ढाल शून्य हो तो क्या होगा? समानांतर रेखा क्षैतिज ही रहती है (y = स्थिरांक); लंबवत रेखा ऊर्ध्वाधर बन जाती है और इसे \(x = x_1\) के रूप में दिखाया जाता है क्योंकि इसका ढाल अपरिभाषित होता है।

क्या बिंदु का मूल रेखा पर होना ज़रूरी है? नहीं। बिंदु केवल यह तय करता है कि नई रेखा कहां से गुजरेगी; यह तल में कहीं भी हो सकता है।

लंबवत के लिए ऋणात्मक व्युत्क्रम क्यों? क्योंकि दो लंबवत ढालों का गुणनफल -1 होता है, इसलिए \(m_{new} = -1/m\)।