Что делает этот калькулятор
Этот инструмент решает классическую задачу оптимизации: среди всех прямоугольников с одним и тем же фиксированным периметром какой из них охватывает наибольшую площадь? Ответ всегда один — квадрат. Введите периметр, и калькулятор выдаст оптимальную длину стороны и максимально возможную площадь.
Как пользоваться
Введите в поле полный периметр P (длину всей границы прямоугольника по кругу) и нажмите кнопку расчёта. Калькулятор делит периметр на четыре, чтобы найти сторону оптимального квадрата, а затем возводит это значение в квадрат и получает максимальную площадь. Используйте любые единицы измерения — метры, футы, сантиметры, — лишь бы они были одинаковыми; площадь выводится в соответствующих квадратных единицах.
Разбор формулы
Прямоугольник со сторонами a и b имеет периметр \(P = 2(a + b)\) и площадь \(A = a \cdot b\). Если P не меняется, то и сумма \(a + b\) остаётся постоянной. А произведение двух чисел с фиксированной суммой максимально тогда, когда оба числа равны, то есть при \(a = b\). В этом случае прямоугольник превращается в квадрат, и каждая его сторона равна \(P/4\). Подставив это значение, получаем максимальную площадь
$$A_{\max} = \left(\frac{P}{4}\right)^{2}$$
Пример расчёта
Допустим, у вас есть 40 метров забора. Оптимальная сторона — это \(40 \div 4 = 10\) метров, поэтому лучшая форма — квадрат 10 м × 10 м. Его площадь составляет
$$10 \times 10 = 100 \text{ м}^2$$Любой неквадратный прямоугольник с тем же периметром 40 м — скажем, 5 м × 15 м — охватит меньшую площадь (всего 75 м²).
Частые вопросы
Почему ответом всегда оказывается квадрат? Потому что при фиксированной сумме длин сторон произведение (то есть площадь) достигает максимума, когда обе стороны равны.
Подходит ли это для задач с забором? Да. Если забор образует замкнутый прямоугольник, периметр — это общая длина забора, и калькулятор покажет максимальную площадь, которую можно огородить.
А что, если одна сторона упирается в стену? Это уже другая задача (забор только с трёх сторон). Данный калькулятор предполагает, что в периметр входят все четыре стороны.
