Ce que fait ce calculateur
Cet outil répond à un grand classique des problèmes d'optimisation : parmi tous les rectangles ayant le même périmètre fixe, lequel renferme la plus grande aire ? La réponse est invariablement un carré. Indiquez votre périmètre et le calculateur vous donne la longueur de côté optimale ainsi que l'aire maximale possible.
Comment l'utiliser
Saisissez le périmètre total P (la distance qui fait tout le tour du rectangle) dans le champ prévu, puis validez. Le calculateur divise le périmètre par quatre pour obtenir le côté du carré optimal, puis élève cette valeur au carré pour donner l'aire maximale. Utilisez n'importe quelle unité, à condition de rester cohérent — mètres, pieds, centimètres — et l'aire s'exprimera dans l'unité carrée correspondante.
La formule expliquée
Un rectangle de côtés a et b a pour périmètre \(P = 2(a + b)\) et pour aire \(A = a \cdot b\). Maintenir P constant revient à fixer la somme \(a + b\). Or, le produit de deux nombres dont la somme est constante est maximal lorsque ces deux nombres sont égaux, donc \(a = b\). Le rectangle devient alors un carré, chaque côté valant \(P/4\). En remplaçant, on obtient l'aire maximale
$$A_{\max} = \left(\frac{P}{4}\right)^{2}$$
Exemple concret
Imaginons que vous disposiez de 40 mètres de clôture. Le côté optimal est \(40 \div 4 = 10\) mètres : la meilleure forme est donc un carré de \(10 \text{ m} \times 10 \text{ m}\). Son aire est de \(10 \times 10 = 100 \text{ m}^2\). Tout rectangle non carré ayant le même périmètre de 40 m — par exemple \(5 \text{ m} \times 15 \text{ m}\) — renferme une aire plus faible (seulement 75 m²).
FAQ
Pourquoi la réponse est-elle toujours un carré ? Parce que, pour une somme de longueurs de côtés fixée, le produit (l'aire) est maximal lorsque les deux côtés sont égaux.
Puis-je l'utiliser pour des problèmes de clôture ? Oui — si votre clôture forme un rectangle fermé, le périmètre correspond à la longueur totale de clôture et cet outil indique l'aire maximale que vous pouvez enclore.
Et si un côté s'appuie contre un mur ? Il s'agit alors d'un problème différent (trois côtés de clôture seulement) ; ce calculateur suppose que les quatre côtés comptent dans le périmètre.
