固定周長下的矩形最大面積

輸入計算

固定周長 (P)

結果

最大面積

100

平方單位（正方形）

邊長（正方形）	10
固定周長	40

這個計算器的用途

這個工具解答一個經典的最佳化問題：在所有周長相同的矩形當中，哪一個能圍出最大的面積？答案永遠是正方形。只要輸入周長，計算器就會回傳最佳邊長與可達到的最大面積。

在周長相同的所有矩形中，正方形所圍的面積最大。

使用方式

在輸入框中填入矩形的總周長 \(P\)（也就是繞矩形一圈的總長度），然後送出。計算器會先把周長除以 4，求出最佳正方形的邊長，再將這個數值平方，得到最大面積。單位可以自由選擇——公尺、英尺、公分都行——只要前後一致，面積就會以對應的平方單位呈現。

公式解析

邊長為 \(a\) 與 \(b\) 的矩形，周長為 \(P = 2(a + b)\)，面積為 \(A = a \cdot b\)。當 \(P\) 固定時，代表 \(a + b\) 也是固定值。兩數之和固定時，乘積在兩數相等時最大，因此 \(a = b\)。這時矩形就成了正方形，每邊長度都是 \(P/4\)。代入後即可得到最大面積

$$A_{\max} = \left(\frac{P}{4}\right)^{2}$$

最佳解的每條邊都等於 \(P/4\)，面積為 \((P/4)^{2}\)。

範例試算

假設你有 40 公尺的圍籬。最佳邊長為 \(40 \div 4 = 10\) 公尺，所以最理想的形狀是 10 公尺 × 10 公尺的正方形，面積為 \(10 \times 10 = 100\) 平方公尺。任何同樣周長 40 公尺、但非正方形的矩形——例如 5 公尺 × 15 公尺——圍出的面積都比較小（只有 75 平方公尺）。

常見問題

為什麼答案永遠是正方形？因為當邊長總和固定時，乘積（也就是面積）會在兩邊相等時達到最大。

可以用來規劃圍籬嗎？可以——只要你的圍籬圍成一個封閉的矩形，周長就是圍籬的總長度，這個工具能算出你能圍住的最大面積。

如果有一邊靠牆固定怎麼辦？那是另一種問題（只需要三邊圍籬）；本計算器假設四條邊都計入周長之內。