Công cụ này làm gì
Công cụ giải một bài toán tối ưu kinh điển: trong tất cả các hình chữ nhật có cùng một chu vi cố định, hình nào bao quanh diện tích lớn nhất? Câu trả lời luôn luôn là hình vuông. Bạn chỉ cần nhập chu vi, công cụ sẽ trả về độ dài cạnh tối ưu và diện tích lớn nhất có thể đạt được.
Cách sử dụng
Nhập tổng chu vi P (độ dài đi hết một vòng quanh hình chữ nhật) vào ô và bấm tính. Công cụ chia chu vi cho bốn để tìm cạnh của hình vuông tối ưu, sau đó bình phương giá trị này để cho ra diện tích lớn nhất. Bạn có thể dùng bất kỳ đơn vị nào miễn là nhất quán — mét, feet, hay centimét — và diện tích sẽ được tính theo đơn vị vuông tương ứng.
Giải thích công thức
Một hình chữ nhật có hai cạnh a và b thì có chu vi \(P = 2(a + b)\) và diện tích \(A = a \cdot b\). Giữ \(P\) không đổi nghĩa là tổng \(a + b\) không đổi. Tích của hai số có tổng cố định đạt giá trị lớn nhất khi hai số bằng nhau, tức \(a = b\). Khi đó hình chữ nhật trở thành hình vuông, mỗi cạnh bằng \(P/4\). Thay vào ta được diện tích lớn nhất
$$A_{\max} = \left(\frac{\text{Perimeter (P)}}{4}\right)^{2}$$
Ví dụ minh họa
Giả sử bạn có 40 mét hàng rào. Cạnh tối ưu là \(40 \div 4 = 10\) mét, vậy hình đẹp nhất là hình vuông 10 m × 10 m. Diện tích của nó là \(10 \times 10 = 100\) m². Bất kỳ hình chữ nhật không phải hình vuông nào có cùng chu vi 40 m — chẳng hạn 5 m × 15 m — đều bao quanh diện tích nhỏ hơn (chỉ 75 m²).
Câu hỏi thường gặp
Vì sao đáp án luôn là hình vuông? Vì với tổng độ dài các cạnh cố định, tích (chính là diện tích) đạt cực đại khi hai cạnh bằng nhau.
Tôi có thể dùng công cụ này cho bài toán hàng rào không? Có — nếu hàng rào của bạn tạo thành một hình chữ nhật khép kín thì chu vi chính là tổng chiều dài hàng rào, và công cụ cho biết diện tích lớn nhất bạn có thể vây quanh.
Nếu một cạnh dựa vào bức tường có sẵn thì sao? Đó là một bài toán khác (chỉ rào ba cạnh); công cụ này giả định cả bốn cạnh đều được tính vào chu vi.
