この計算ツールでできること
「周囲の長さが同じ長方形のなかで、もっとも面積が大きくなるのはどんな形か？」――数学でおなじみのこの最適化問題に、このツールが答えます。結論は常に「正方形」です。周囲長を入力すると、最適な一辺の長さと得られる最大面積を自動で計算します。
使い方
入力欄に長方形の周囲長 P（外周をぐるりと一周した長さ）を入力して送信するだけです。ツールは周囲長を4で割って最適な正方形の一辺を求め、その値を2乗して最大面積を算出します。単位はメートル・フィート・センチメートルなど何でも構いませんが、すべて同じ単位で揃えてください。面積はその単位の平方単位で表示されます。
公式のしくみ
辺の長さが a と b の長方形では、周囲長は \(P = 2(a + b)\)、面積は \(A = a \cdot b\) です。Pを一定に保つということは、\(a + b\) が一定であることを意味します。和が一定の2つの数の積は、その2つが等しいときに最大になります。つまり \(a = b\) となり、長方形は一辺 \(P/4\) の正方形になります。これを代入すると、最大面積は次の式で求められます。
$$A_{\max} = \left(\frac{\text{Perimeter (P)}}{4}\right)^{2}$$
計算例
たとえばフェンスが40メートルあるとします。最適な一辺は \(40 \div 4 = 10\) メートルなので、もっとも面積が大きくなる形は 10 m × 10 m の正方形です。その面積は
$$10 \times 10 = 100 \text{ m}^2$$になります。同じ周囲長40 mでも正方形でない長方形、たとえば 5 m × 15 m では面積は 75 m² しかなく、正方形より小さくなります。
よくある質問
なぜ答えは必ず正方形になるのですか？ 辺の長さの和が一定のとき、その積（＝面積）は両辺が等しいときに最大になるからです。
フェンスの設置にも使えますか？ はい。フェンスで長方形の囲いを作る場合、周囲長はフェンスの総延長にあたり、このツールで囲める最大面積がわかります。
片側を壁に沿わせて、その辺はフェンス不要の場合は？ それは別の問題です（フェンスは3辺ぶんになります）。この計算ツールは4辺すべてが周囲長に含まれる前提で計算します。
