Qué hace esta calculadora
Esta herramienta resuelve un problema clásico de optimización: de todos los rectángulos que comparten el mismo perímetro fijo, ¿cuál encierra la mayor superficie? La respuesta es siempre un cuadrado. Introduce el perímetro y la calculadora te devuelve la longitud del lado óptimo y el área máxima posible.
Cómo usarla
Escribe el perímetro total P (la distancia que recorre todo el contorno del rectángulo) en el campo correspondiente y pulsa calcular. La calculadora divide el perímetro entre cuatro para hallar el lado del cuadrado óptimo y luego eleva ese valor al cuadrado para obtener el área máxima. Puedes usar cualquier unidad de forma coherente —metros, pies, centímetros— y el área se expresará en las unidades cuadradas correspondientes.
La fórmula explicada
Un rectángulo de lados a y b tiene un perímetro \(P = 2(a + b)\) y un área \(A = a\cdot b\). Mantener \(P\) constante significa que \(a + b\) también es constante. El producto de dos números cuya suma es fija alcanza su valor máximo cuando ambos números son iguales, es decir, cuando \(a = b\). Eso convierte el rectángulo en un cuadrado, con cada lado igual a \(P/4\). Al sustituir obtenemos el área máxima $$A_{\max} = \left(\frac{P}{4}\right)^{2}$$
Ejemplo resuelto
Imagina que dispones de 40 metros de valla. El lado óptimo es \(40 \div 4 = 10\) metros, así que la mejor forma es un cuadrado de 10 m × 10 m. Su área es $$10 \times 10 = 100 \text{ m}^2$$ Cualquier rectángulo no cuadrado con el mismo perímetro de 40 m —por ejemplo, 5 m × 15 m— encierra menos superficie (apenas 75 m²).
Preguntas frecuentes
¿Por qué la respuesta es siempre un cuadrado? Porque, para una suma fija de las longitudes de los lados, el producto (es decir, el área) se maximiza cuando ambos lados son iguales.
¿Sirve para problemas de vallado? Sí: si tu valla forma un rectángulo cerrado, el perímetro es la longitud total de la valla y esto te indica la máxima superficie que puedes encerrar.
¿Y si un lado queda apoyado contra una pared? Ese es un problema distinto (solo se vallan tres lados); esta calculadora supone que los cuatro lados cuentan dentro del perímetro.
