고정 둘레에서 넓이가 가장 큰 직사각형

계산 입력

고정 둘레 (P)

결과

최대 넓이

100

제곱 단위 (정사각형)

한 변 길이 (정사각형)	10
고정 둘레	40

이 계산기로 무엇을 할 수 있나요

이 도구는 수학에서 자주 등장하는 최적화 문제에 답을 줍니다. 둘레가 똑같이 정해진 여러 직사각형 중에서 넓이가 가장 큰 것은 어떤 모양일까요? 정답은 언제나 정사각형입니다. 둘레 값을 입력하면 최적의 한 변 길이와 만들 수 있는 최대 넓이를 바로 계산해 드립니다.

둘레가 같은 모든 직사각형 중에서 정사각형이 가장 큰 넓이를 둘러쌉니다.

사용 방법

입력란에 직사각형 전체 둘레 P(도형 둘레를 한 바퀴 돈 거리)를 입력하고 계산을 누르세요. 계산기는 둘레를 4로 나누어 최적 정사각형의 한 변을 구한 다음, 그 값을 제곱해 최대 넓이를 알려줍니다. 미터, 피트, 센티미터 등 단위는 무엇이든 일관되게만 쓰면 되고, 넓이는 그에 맞는 제곱 단위로 표시됩니다.

공식 풀이

가로 a, 세로 b인 직사각형의 둘레는 \(P = 2(a + b)\), 넓이는 \(A = a \cdot b\)입니다. P를 고정한다는 것은 \(a + b\)가 일정하다는 뜻이죠. 합이 정해진 두 수의 곱은 두 수가 같을 때 가장 커지므로 \(a = b\)가 됩니다. 즉 직사각형은 정사각형이 되고, 각 변의 길이는 \(P/4\)입니다. 이를 대입하면 최대 넓이 $$A_{\max} = \left(\frac{P}{4}\right)^{2}$$가 나옵니다.

최적해는 모든 변이 \(P/4\)로 같아 넓이가 \(\left(P/4\right)^{2}\)이 됩니다.

예제로 확인하기

울타리가 40미터 있다고 해 봅시다. 최적의 한 변은 \(40 \div 4 = 10\)미터이므로 가장 좋은 모양은 10m × 10m 정사각형입니다. 넓이는 \(10 \times 10 = 100\)m²가 되죠. 둘레가 똑같이 40m인 다른 직사각형, 예를 들어 5m × 15m라면 넓이가 75m²밖에 안 되어 더 좁습니다.

자주 묻는 질문

왜 정답이 항상 정사각형인가요? 변 길이의 합이 고정되어 있을 때, 두 변이 서로 같을 때 곱(넓이)이 최대가 되기 때문입니다.

울타리 문제에도 쓸 수 있나요? 네. 울타리가 닫힌 직사각형 모양이라면 둘레가 곧 전체 울타리 길이이고, 이 계산기로 둘러쌀 수 있는 최대 넓이를 알 수 있습니다.

한 변이 벽에 붙어 고정된 경우는요? 그건 울타리를 세 변만 치는 다른 문제입니다. 이 계산기는 네 변 모두 둘레에 포함된다고 가정합니다.