परिणाम

अधिकतम क्षेत्रफल

100

वर्ग इकाई (एक वर्ग)

भुजा की लंबाई (वर्ग)	10
निश्चित परिमाप	40

यह कैलकुलेटर क्या करता है

यह टूल गणित के एक क्लासिक अनुकूलन (optimization) सवाल का जवाब देता है: एक जैसा निश्चित परिमाप रखने वाले सभी आयतों में से किसका क्षेत्रफल सबसे ज़्यादा होगा? इसका जवाब हमेशा एक वर्ग होता है। आप अपना परिमाप डालिए और कैलकुलेटर आपको सबसे उपयुक्त भुजा की लंबाई और संभव अधिकतम क्षेत्रफल बता देगा।

समान परिमाप के तीन आयत, जिनमें वर्ग को सबसे बड़े क्षेत्रफल के रूप में छायांकित किया गया है — समान परिमाप वाले सभी आयतों में, वर्ग सबसे बड़ा क्षेत्रफल घेरता है।

इसका इस्तेमाल कैसे करें

इनपुट बॉक्स में कुल परिमाप P (यानी आयत के चारों ओर की पूरी दूरी) लिखिए और सबमिट कर दीजिए। कैलकुलेटर परिमाप को चार से भाग देकर सबसे उपयुक्त वर्ग की भुजा निकालता है, और फिर उस मान का वर्ग करके अधिकतम क्षेत्रफल बता देता है। आप कोई भी एक जैसी इकाई इस्तेमाल कर सकते हैं — मीटर, फुट या सेंटीमीटर — और क्षेत्रफल उसी के अनुरूप वर्ग इकाई में मिलेगा।

सूत्र की पूरी समझ

जिस आयत की भुजाएँ a और b हों, उसका परिमाप $P = 2(a + b)$ और क्षेत्रफल $A = a \cdot b$ होता है। P को स्थिर रखने का मतलब है कि $a + b$ भी स्थिर रहेगा। जिन दो संख्याओं का योग निश्चित हो, उनका गुणनफल तब सबसे बड़ा होता है जब वे दोनों बराबर हों — यानी $a = b$। इससे आयत एक वर्ग बन जाता है, जिसकी हर भुजा $P/4$ के बराबर होती है। इसे रखने पर अधिकतम क्षेत्रफल मिलता है $$A_{\max} = \left(\frac{P}{4}\right)^{2}$$

वर्ग जिसकी हर भुजा पर P बटा 4 अंकित है, जो इष्टतम आयत दर्शाता है — इष्टतम स्थिति में हर भुजा $P/4$ के बराबर होती है, जिससे क्षेत्रफल $(P/4)^2$ मिलता है।

हल किया हुआ उदाहरण

मान लीजिए आपके पास 40 मीटर बाड़ (fencing) है। सबसे उपयुक्त भुजा होगी $40 \div 4 = 10$ मीटर, यानी सबसे अच्छा आकार 10 मी × 10 मी का वर्ग होगा। इसका क्षेत्रफल होगा $10 \times 10 = 100$ वर्ग मीटर। उतने ही 40 मीटर परिमाप वाला कोई भी ऐसा आयत जो वर्ग नहीं है — जैसे 5 मी × 15 मी — कम क्षेत्रफल घेरेगा (सिर्फ़ 75 वर्ग मीटर)।

अक्सर पूछे जाने वाले सवाल

जवाब हमेशा वर्ग ही क्यों होता है? क्योंकि भुजाओं के योग के निश्चित रहने पर गुणनफल (यानी क्षेत्रफल) तभी अधिकतम होता है जब दोनों भुजाएँ बराबर हों।

क्या मैं इसे बाड़ लगाने की समस्याओं के लिए इस्तेमाल कर सकता हूँ? हाँ — अगर आपकी बाड़ एक बंद आयत बनाती है, तो परिमाप ही बाड़ की कुल लंबाई है और यह आपको बता देगा कि आप अधिकतम कितना क्षेत्रफल घेर सकते हैं।

अगर एक भुजा दीवार से सटी और तय हो तो? वह एक अलग सवाल है (जिसमें बाड़ सिर्फ़ तीन भुजाओं पर होती है); यह कैलकुलेटर मानकर चलता है कि चारों भुजाएँ परिमाप में गिनी जाती हैं।

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