什麼是反餘弦（arccos）計算機？
反餘弦記作 \(\arccos(x)\) 或 \(\cos^{-1}(x)\)，它要回答的問題是：「餘弦值等於 x 的角度是多少？」由於餘弦的輸出值只落在 -1 到 1 之間，因此輸入的 x 也必須在這個範圍內。本計算機會回傳主值角度 θ，同時以弧度與度數呈現，其中 θ 介於 [0, π] 弧度之間（也就是 0° 到 180°）。
使用方法
在輸入框中填入 -1 到 1 之間的數值，計算機便會算出 \(\theta = \arccos(x)\)。結果會先在醒目方框中以度數顯示，下方則列出精確的弧度值。若輸入值超出 [-1, 1]，由於餘弦不可能超過這個界線，系統會將其調整到最接近的有效端點。
公式說明
兩者的關係為 \(\theta = \arccos(x)\)，也就是 \(x = \cos(\theta)\) 的反函數。若要把弧度換算成度數，只需乘上 \(\frac{180}{\pi}\)。
$$\theta = \arccos\left(x\right) \quad\Rightarrow\quad \theta_{\deg} = \arccos\left(x\right) \times \frac{180}{\pi}$$舉例來說，\(\arccos(0) = \frac{\pi}{2}\) 弧度 = 90°，因為 \(\cos(90°) = 0\)。
實例演算
假設 \(x = 0.5\)，則 \(\theta = \arccos(0.5) = 1.047198\) 弧度。換算後：
$$1.047198 \times \frac{180}{\pi} \approx 60°$$這個結果正確，因為 \(\cos(60°) = 0.5\)。
常見的反余弦值
反余弦函數 \(\theta = \arccos(x)\) 的輸入僅限於範圍 \(-1 \le x \le 1\)，並回傳一個主角度在 \([0, \pi]\) 弧度，等同於 \([0^\circ, 180^\circ]\)。下表列出整個三角學中使用的標準參考值，角度同時以 \(\pi\) 的精確分數和度數形式表示。
| x | 十進制 x | arccos(x) (弧度) | arccos(x) (度) |
|---|---|---|---|
| 1 | 1.000 | \(0\) | 0° |
| \(\tfrac{\sqrt{3}}{2}\) | 0.866 | \(\tfrac{\pi}{6}\) | 30° |
| \(\tfrac{\sqrt{2}}{2}\) | 0.707 | \(\tfrac{\pi}{4}\) | 45° |
| \(\tfrac{1}{2}\) | 0.500 | \(\tfrac{\pi}{3}\) | 60° |
| 0 | 0.000 | \(\tfrac{\pi}{2}\) | 90° |
| \(-\tfrac{1}{2}\) | -0.500 | \(\tfrac{2\pi}{3}\) | 120° |
| \(-\tfrac{\sqrt{2}}{2}\) | -0.707 | \(\tfrac{3\pi}{4}\) | 135° |
| \(-\tfrac{\sqrt{3}}{2}\) | -0.866 | \(\tfrac{5\pi}{6}\) | 150° |
| -1 | -1.000 | \(\pi\) | 180° |
注意對稱性：\(\arccos(-x) = \pi - \arccos(x)\)。例如，\(\arccos(-\tfrac{1}{2}) = \pi - \tfrac{\pi}{3} = \tfrac{2\pi}{3}\)，這確認了表中 60° 和 120° 的配對。
常見問題
為什麼 x 必須介於 -1 與 1 之間？餘弦函數的輸出值永遠不會超出這個範圍，因此它的反函數也只在這個區間內有定義。
答案會落在哪個範圍？arccos 的主值永遠介於 0 到 π 弧度之間（即 0° 到 180°）。
arccos(1) 與 arccos(-1) 各是多少？\(\arccos(1) = 0°\)（\(\cos 0° = 1\)），\(\arccos(-1) = 180°\)（\(\cos 180° = -1\)）。
