這個計算機的用途
這個工具會接收一組數字，並算出數學與統計學上三種經典的「平均數」：算術平均數、幾何平均數與調和平均數，同時還會列出中位數、最小值與最大值。由於這些都是純粹且無單位的數學運算，無論在哪裡使用結果都完全相同，也不需要做任何單位換算。
使用方式
把你的資料輸入或貼到輸入框中，數字之間以逗號、空格或換行分隔即可——例如 4, 8, 16，或每行填一個數值。空白或非數字的項目會自動略過，\(n\) 代表有效數字的個數。你還可以選擇顯示的有效位數（這只會影響結果的四捨五入呈現，不會改變實際的運算）。
公式說明
算術平均數是把所有數值相加後再除以 \(n\)。幾何平均數是把所有數值相乘後取 \(n\) 次方根；實際運算上是以 exp（自然對數的平均值）來計算，因此只有在每個數值都為正數時才有意義。調和平均數則是 \(n\) 除以所有數值倒數的總和，所以每個數值都不能為零。中位數是把數值排序後取中間的那一個（當 \(n\) 為偶數時，取中間兩個數值的平均）。
$$\begin{gathered} A = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i, \qquad G = \sqrt[n]{\prod_{i=1}^{n} x_i}, \qquad H = \frac{n}{\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{x_i}} \\[1.5em] \text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} x_i &= \text{Data values} \\ n &= \text{count of values} \end{aligned} \right. \end{gathered}$$
實例演算
以資料 1, 2, 3, 4, 5（\(n = 5\)）為例：算術平均數 \(= 15/5 = 3\)；幾何平均數 \(= 120^{1/5} \approx 2.605171085\)；調和平均數 \(= 5 / (1 + 0.5 + 0.333\ldots + 0.25 + 0.2) \approx 2.189781022\)；中位數 \(= 3\)；最小值 \(= 1\)；最大值 \(= 5\)。可以看到 \(2.1898 \le 2.6052 \le 3\)，正好驗證了「算術平均數 ≥ 幾何平均數 ≥ 調和平均數」的不等式關係。
當平均值分化時：情景比較
三種古典平均值只在資料集中每個數值都相同時才重合。一旦數值開始分散，算術平均數（AM）位於最高，調和平均數（HM）位於最低，幾何平均數（GM）介於兩者之間。分散越大，間隙越大。下表顯示了幾個實際資料集，每個平均值均計算到4位小數。
| 資料集 | 特徵 | 算術平均（A） | 幾何平均（G） | 調和平均（H） | A − H 間隙 |
|---|---|---|---|---|---|
| 5, 5, 5, 5 | 全部相等 | 5.0000 | 5.0000 | 5.0000 | 0.0000 |
| 2, 4, 6, 8 | 均勻分佈 | 5.0000 | 4.4267 | 3.8400 | 1.1600 |
| 1.05, 1.10, 1.20 | 增長因子 | 1.1167 | 1.1146 | 1.1125 | 0.0042 |
| 1, 10, 100 | 高度偏斜 | 37.0000 | 10.0000 | 2.7027 | 34.2973 |
| 40, 60 | 兩個速度（km/h） | 50.0000 | 48.9898 | 48.0000 | 2.0000 |
注意數值相等的列：三個平均值都正好是5，間隙為零。「1, 10, 100」列是相反的極端情況——數值跨越兩個數量級，所以算術平均數（37）由最大值主導，而調和平均數（≈2.70）被拉向最小值。幾何平均數（正好是10）位於乘法標度的中心。
選擇正確的平均數
每種平均數回答不同的問題，使用錯誤的平均數可能會產生誤導的「平均值」。選擇取決於基礎數量如何組合。
- 算術平均數（A）——用於加性數量，其中總數有意義：測試分數、身高、溫度、每日計數或金額。它是重複 次時給出與資料相同總和的值。
- 幾何平均數（G）——用於乘性數量、比率和複合增長：投資報酬率、人口或收入增長率、指數和任何按時間百分比變化衡量的量。用幾何平均數對增長因子（例如1.05、1.10、1.20）求平均會給出再現相同累積結果的恆定比率——這與複合年增長率背後的邏輯相同。
- 調和平均數（H）——當對相對於固定數量定義的速率求平均時使用：等距平均速度、投資組合中的本益比（P/E）或燃油效率。如果你以40 km/h駕駛一段距離，然後以60 km/h駕駛等距離的另一段，你的平均速度是調和平均數48 km/h，而不是算術平均數50 km/h。
對於任何正數列表，平均值總是滿足不等式$$A \ge G \ge H,$$其中等號成立只有當每個數值都相同時。資料中的分散越大，這些間隙就越寬——這就是為什麼幾何平均數是複合報酬的保守選擇，調和平均數是當緩慢速率應該有更重權重時的正確（最低）選擇。
這是關於統計平均值的通用教育資訊，而不是專業財務建議。當數字涉及投資或業務決策時，請諮詢合格的專業人士。
常見問題
為什麼幾何平均數顯示為 N/A？當任一數值為負數時，乘積的 \(n\) 次方根在實數範圍內沒有定義，因此工具會把負數輸入標示出來。而只要出現一個 0，乘積（以及幾何平均數）就會變成 0。
為什麼有 0 就無法算調和平均數？調和平均數要除以所有數值倒數的總和，而 \(1/0\) 為無限大，所以只要任一數值為 0，調和平均數就無法定義。
我該用哪一種平均數？處理可相加的數量時用算術平均數；處理成長率或比率時用幾何平均數；要對速率（例如速度）取平均時則用調和平均數。
