馬格努斯力計算器

輸入計算

空氣密度 (kg/m³)

速度 (m/s)

球半徑 (m)

升力係數 (CL)

結果

馬格努斯力

0.58

牛頓 (N)

橫截面積	0.004208 m²

什麼是馬格努斯力？

馬格努斯力（Magnus force）是指旋轉中的物體在空氣等流體中運動時，所受到的側向（升力）作用力。物體的旋轉會帶動周圍的空氣，使兩側產生壓力差，進而讓球的飛行路徑偏轉。足球自由球的弧線、上旋網球的急墜，以及棒球曲球的拐彎，都是馬格努斯力的傑作。

旋轉的球使氣流發生偏轉，產生與其運動方向垂直的側向馬格努斯力。

如何使用本計算器

輸入空氣密度（海平面約為 1.225 kg/m³）、以每秒公尺為單位的球速、以公尺為單位的球半徑，以及代表旋轉強度的無因次升力係數 \(C_L\)。旋轉速率越高，\(C_L\) 值越大（運動用球通常落在 0.1～0.4 之間）。計算器會回傳以牛頓為單位的馬格努斯力，並一併顯示算出的橫截面積。

公式解析

作用力的公式為 $$F = \tfrac{1}{2} \cdot \rho \cdot v^2 \cdot A \cdot C_L$$ 其中 \(\rho\) 為空氣密度、\(v\) 為速度、\(A = \pi r^2\) 為迎風面積、\(C_L\) 為升力係數。由於公式中與 \(v^2\) 成正比，力會隨速度急遽增加——速度加倍，作用力便會變為四倍。

馬格努斯力取決於空氣密度 \(\rho\)、速度 \(v\)、橫截面積 \(A\) 與升力係數 \(C_L\)。

範例試算

一顆半徑 0.11 m 的足球，以 25 m/s 的速度穿過密度 1.225 kg/m³ 的空氣，\(C_L = 0.25\)。其面積為 $$A = \pi \cdot 0.11^2 \approx 0.038013 \ \text{m}^2$$ 作用力為 $$F = 0.5 \cdot 1.225 \cdot 25^2 \cdot 0.038013 \cdot 0.25 \approx 3.638 \ \text{N}$$ 足以讓球在飛行過程中明顯偏彎。

常見問題

\(C_L\) 該取多少？這取決於旋轉參數 \(S = r\omega / v\)。運動用球的 \(C_L\) 通常介於 0.1 到 0.4 之間；若有實測數據，請優先採用。

空氣密度該用多少？在海平面、15 °C 時約為 1.225 kg/m³。隨著海拔升高或氣溫上升，密度會下降。

為什麼這股力會讓球轉彎？馬格努斯力的方向同時垂直於速度與旋轉軸，因此在飛行中會把球往側向或上下方推動。