點斜式計算機

輸入計算

斜率 (m)

Point x₁

Point y₁

結果

點斜式

y − 5 = 2(x − 3)

Slope-intercept: y = 2x + -1

斜率 (m)	2
y 軸截距 (b)	-1

什麼是點斜式？

點斜式是書寫直線方程式最實用的方法之一。只要你知道直線的斜率 \(m\)，以及直線通過的任一個點 \((x_1, y_1)\)，就能立刻寫出它的方程式：$$y - y_1 = m\left(x - x_1\right)$$本計算機會自動幫你建立這條方程式，並進一步換算成大家更熟悉的斜截式 \(y = mx + b\)。

點斜式由一個點 (x₁, y₁) 和斜率 m 構成。

計算機使用方式

先輸入斜率 \(m\)，再輸入直線上任一點的座標 \(x_1\) 與 \(y_1\)。計算機會回傳點斜式方程式、斜率，以及 y 軸截距 \(b\)。正數、負數與小數皆可使用。

公式解析

從斜率的定義出發，\(m = \dfrac{y - y_1}{x - x_1}\)，將等號兩邊同乘以 \(\left(x - x_1\right)\)，即可得到 $$y - y_1 = m\left(x - x_1\right)$$展開後為 \(y = mx - m\cdot x_1 + y_1\)，因此 y 軸截距為 $$b = y_1 - m\cdot x_1$$

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展開並解出 y，可將點斜式轉換為斜截式 y = mx + b。

實例演練

假設某直線的斜率為 \(m = 2\)，並通過 \((3, 5)\) 這個點。其點斜式為 $$y - 5 = 2\left(x - 3\right)$$展開後：$$y = 2x - 6 + 5 = 2x - 1$$因此 y 軸截距為 \(b = -1\)。

常見問題

什麼時候適合用點斜式？當你已知一個點與斜率時，點斜式最為理想，例如要寫出切線方程式，或是通過某個資料點的直線。

斜率可以是負數或分數嗎？可以。任何實數都能輸入，包括 \(0.5\) 或 \(-1.25\) 這類小數。

如果遇到垂直線怎麼辦？垂直線的斜率沒有定義，無法用點斜式或斜截式表示；它們的方程式形式為 \(x = \text{常數}\)。