परिणाम

पॉइंट-स्लोप रूप

y − 5 = 2(x − 3)

Slope-intercept: y = 2x + -1

ढलान (m)	2
y-अंतःखंड (b)	-1

पॉइंट-स्लोप फॉर्म क्या है?

किसी सीधी रेखा का समीकरण लिखने के सबसे उपयोगी तरीकों में से एक है पॉइंट-स्लोप रूप। अगर आपको किसी रेखा की ढलान m और उस पर स्थित कोई एक बिंदु (x₁, y₁) पता हो, तो आप उसका समीकरण तुरंत इस रूप में लिख सकते हैं — $$y - y_1 = m\left(x - x_1\right)$$। यह कैलकुलेटर आपके लिए यही समीकरण तैयार करता है और साथ ही इसे ज़्यादा परिचित स्लोप-इंटरसेप्ट रूप $y = mx + b$ में भी बदल देता है।

निर्देशांक अक्षों पर एक रेखा जो एक चिह्नित बिंदु से गुजरती है, ढाल को राइज़ बटा रन के रूप में दिखाया गया है — बिंदु-ढाल रूप एक बिंदु (x₁, y₁) और ढाल m से बनता है।

इस कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें

पहले ढलान m डालें, फिर रेखा पर स्थित किसी भी बिंदु के निर्देशांक x₁ और y₁ भरें। कैलकुलेटर आपको पॉइंट-स्लोप समीकरण, ढलान और y-अंतःखंड b लौटाता है। यह धनात्मक, ऋणात्मक और दशमलव मानों — तीनों के साथ काम करता है।

सूत्र की व्याख्या

ढलान की परिभाषा $m = \dfrac{y - y_1}{x - x_1}$ से शुरुआत करें। दोनों ओर $\left(x - x_1\right)$ से गुणा करने पर मिलता है $$y - y_1 = m\left(x - x_1\right)$$। इसे विस्तृत करने पर $y = mx - m \cdot x_1 + y_1$ मिलता है, यानी y-अंतःखंड $$b = y_1 - m \cdot x_1$$ होता है।

बिंदु-ढाल रूप को ढाल-अंतःखंड रूप में बदलने वाला आरेख — वितरण करके और y को अलग करके बिंदु-ढाल रूप को ढाल-अंतःखंड रूप y = mx + b में बदला जाता है।

हल किया हुआ उदाहरण

मान लीजिए किसी रेखा की ढलान $m = 2$ है और वह बिंदु $(3, 5)$ से होकर गुज़रती है। तब पॉइंट-स्लोप रूप होगा $$y - 5 = 2\left(x - 3\right)$$। इसे विस्तृत करने पर: $$y = 2x - 6 + 5 = 2x - 1$$, यानी y-अंतःखंड $b = -1$ है।

अक्सर पूछे जाने वाले सवाल

पॉइंट-स्लोप रूप का उपयोग कब करें? यह तब सबसे उपयुक्त है जब आपको कोई एक बिंदु और ढलान पता हो — जैसे स्पर्श रेखा (tangent) लिखने या किसी दिए गए डेटा बिंदु से होकर जाने वाली रेखा का समीकरण निकालने में।

क्या ढलान ऋणात्मक या भिन्न हो सकती है? हाँ। आप कोई भी वास्तविक संख्या डाल सकते हैं, जिसमें 0.5 या −1.25 जैसे दशमलव भी शामिल हैं।

अगर मेरी रेखा ऊर्ध्वाधर (vertical) हो तो? ऊर्ध्वाधर रेखाओं की ढलान अपरिभाषित होती है और इन्हें पॉइंट-स्लोप या स्लोप-इंटरसेप्ट रूप में नहीं लिखा जा सकता; ये x = स्थिरांक के रूप में होती हैं।

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