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स्लोप-इंटरसेप्ट समीकरण

y = 3x - 1

y = mx + b

स्लोप (m)	3
y-इंटरसेप्ट (b)	-1

स्लोप-इंटरसेप्ट फॉर्म क्या है?

किसी सीधी रेखा का समीकरण लिखने का सबसे आम तरीका है स्लोप-इंटरसेप्ट फॉर्म: $y = mx + b$, जहाँ $m$ स्लोप है (यानी रेखा कितनी ढलान वाली है) और $b$ y-इंटरसेप्ट है (यानी रेखा ऊर्ध्वाधर अक्ष को किस जगह काटती है)। यह कैलकुलेटर रेखा पर मौजूद किन्हीं दो बिंदुओं को लेकर m, b और पूरा समीकरण तुरंत निकाल देता है।

निर्देशांक ग्रिड पर ढाल और y-अंतःखंड दर्शाती रेखा — ढाल-अंतःखंड रूप $y = mx + b$ रेखा की ढाल (m) और वह स्थान दिखाता है जहाँ वह y-अक्ष को काटती है (b)।

इसका इस्तेमाल कैसे करें

दो अलग-अलग बिंदुओं के निर्देशांक भरें — (x₁, y₁) और (x₂, y₂)। कैलकुलेटर पहले स्लोप निकालता है और फिर इंटरसेप्ट। ध्यान रखें कि x₁ और x₂ अलग-अलग हों — अगर ये बराबर हुए तो रेखा ऊर्ध्वाधर (vertical) होगी और उसे स्लोप-इंटरसेप्ट फॉर्म में नहीं लिखा जा सकता।

फॉर्मूला समझें

स्लोप का मतलब है y में होने वाला बदलाव, x में होने वाले बदलाव से भाग देने पर: $m = \dfrac{\text{y}_2 - \text{y}_1}{\text{x}_2 - \text{x}_1}$। एक बार m मिल जाए, तो किसी एक बिंदु को $y = mx + b$ में रखकर इंटरसेप्ट निकालें: $b = \text{y}_1 - m \cdot \text{x}_1$।

$$y = m\,x + b$$

एक रेखा पर दो बिंदु, जिनके ऊर्ध्व और क्षैतिज परिवर्तन ढाल का सूत्र बनाते हैं — ढाल m दो बिंदुओं के बीच ऊर्ध्व परिवर्तन (y में बदलाव) को क्षैतिज परिवर्तन (x में बदलाव) से भाग देने पर मिलती है।

हल किया हुआ उदाहरण

मान लीजिए बिंदु हैं (1, 2) और (3, 8)। स्लोप $$m = \frac{8 - 2}{3 - 1} = \frac{6}{2} = 3$$ इंटरसेप्ट $$b = 2 - 3 \cdot 1 = -1$$ तो समीकरण बनेगा $y = 3x - 1$।

अक्सर पूछे जाने वाले सवाल

अगर दोनों बिंदु एक ही हों तो? एक अनोखी रेखा तय करने के लिए आपको दो अलग-अलग बिंदुओं की ज़रूरत होती है।

स्लोप 0 होने का क्या मतलब है? इसका मतलब है एक क्षैतिज (horizontal) रेखा; तब समीकरण बनता है $y = b$।

ऊर्ध्वाधर रेखा के लिए यह फॉर्म क्यों नहीं चलता? उसका स्लोप अपरिभाषित (undefined) होता है (शून्य से भाग), इसलिए उसे $x = \text{स्थिरांक}$ के रूप में लिखा जाता है।

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