Nghịch lý ngày sinh là gì?
Nghịch lý ngày sinh là một sự thật gây bất ngờ: chỉ cần một nhóm 23 người là khả năng có hai người trùng ngày sinh đã lớn hơn 50%. Nghe có vẻ vô lý, vì nhiều người vẫn hình dung là phải trùng đúng ngày sinh của chính mình. Nhưng phép tính ở đây đếm bất kỳ cặp nào trùng nhau, và số cặp có thể tạo thành tăng lên rất nhanh khi nhóm đông hơn. Đây thuần túy là bài toán xác suất nên đúng ở mọi nơi.
Cách dùng công cụ này
Bạn nhập số người nhỏ nhất ("Số người từ"), số người lớn nhất ("Số người đến"), và nếu muốn có thể thay đổi số ngày trong năm (mặc định 365, hoặc 366 nếu tính cả ngày 29/2). Công cụ sẽ dựng một bảng với mỗi dòng ứng với một cỡ nhóm và cho biết hai xác suất: khả năng không có ai trùng ngày sinh, và khả năng có ít nhất một cặp trùng nhau. Công cụ cũng chỉ ra cỡ nhóm đầu tiên mà xác suất trùng chạm mốc 50%.
Công thức
Gọi D là số ngày trong một năm. Xác suất để cả n người đều có ngày sinh khác nhau chính là tích của số ngày "còn trống" ngày càng giảm: $$\bar{p}(n) = \frac{D}{D} \times \frac{D-1}{D} \times \cdots \times \frac{D-n+1}{D}$$ Khi đó, xác suất có ít nhất một cặp trùng nhau đơn giản là $$p(n) = 1 - \bar{p}(n)$$ Ta nhân lần lượt từng số hạng để tránh phải tính giai thừa khổng lồ; và một khi \(n\) vượt quá \(D\) thì xác suất không trùng buộc phải bằng 0 theo nguyên lý chuồng bồ câu (pigeonhole).
Ví dụ minh họa
Với \(D = 365\) và \(n = 23\), khi nhân \(\frac{365}{365} \cdot \frac{364}{365} \cdots \frac{343}{365}\) ta được $$\bar{p}(23) \approx 0{,}492703$$ suy ra $$p(23) \approx 0{,}507297$$ tức khoảng 50,73%. Với \(n = 2\) thì xác suất chỉ là 0,27%, còn đến \(n = 50\) thì tăng vọt lên khoảng 97,04%.
Các ngưỡng phổ biến: Bao nhiêu người để có một xác suất nhất định?
Nghịch lý sinh nhật kinh điển làm cho mọi người ngạc nhiên vì xác suất của một ngày sinh chung tăng nhanh hơn nhiều so với những gì trực giác gợi ý. Bảng dưới đây cho thấy kích thước nhóm nhỏ nhất \(n\) mà tại đó xác suất \(P(n)\) của ít nhất một ngày sinh chung lần đầu tiên đạt đến mỗi ngưỡng phổ biến, giả sử \(D = 365\) ngày và ngày sinh phân bố đều (bỏ qua năm nhuận và các mô hình sinh đẻ theo mùa).
| Xác suất mục tiêu | Kích thước nhóm \(n\) | Xác suất \(P(n)\) thực tế ở kích thước đó |
|---|---|---|
| 10% | 9 | 11,6% |
| 50% | 23 | 50,7% |
| 90% | 41 | 90,3% |
| 95% | 47 | 95,0% |
| 99% | 57 | 99,0% |
| 99,9% | 70 | 99,92% |
Cột mốc nổi tiếng nhất là chỉ cần 23 người, điều này đủ để làm cho một ngày sinh chung có khả năng xảy ra hơn là không. Lưu ý rằng xác suất tăng dốc qua phạm vi giữa — từ cơ hội 50% ở 23 người đến gần như chắc chắn 99% ở chỉ 57 người — và sau đó làm phẳng khi nó tiến gần tới 100%, vì mỗi người bổ sung thêm các cơ hội ghép đôi mới ít hơn so với những cặp đã có.
Câu hỏi thường gặp
Vì sao xác suất lại vượt 50% sớm như vậy? Bởi vì 23 người tạo thành tới 253 cặp khác nhau, và bất kỳ cặp nào trong số đó cũng có thể trùng ngày sinh.
Công cụ có tính đến năm nhuận hay việc ngày sinh dồn vào một số thời điểm không? Không. Mô hình giả định 365 (hoặc 366) ngày sinh có khả năng xảy ra như nhau; trên thực tế, việc ngày sinh dồn cụm chỉ làm xác suất trùng cao hơn nữa.
Nếu nhóm có hơn 365 người thì sao? Khi đó chắc chắn có người trùng ngày sinh, nên \(p(n) = 1\).
