这个计算器能做什么
函数的定义域，指的是能让函数输出实数结果的全部自变量 \(x\) 取值。对于平方根函数 \(f(x) = \sqrt{ax + b}\) 来说，根号内的表达式（即被开方数）必须大于或等于零，因为负数在实数范围内开平方没有意义。本工具会自动为你求解这个条件，并同时用不等式和区间两种形式给出定义域。
使用方法
填入被开方数 \(ax + b\) 中的系数 a 和常数 b。计算器会求解 \(ax + b \ge 0\)。当 \(a\) 为正数时，定义域为 \(x \ge -\frac{b}{a}\)；当 \(a\) 为负数时，两边除以负数会使不等号反向，得到 \(x \le -\frac{b}{a}\)；当 \(a\) 等于零时，被开方数就只剩常数 \(b\)，此时定义域要么是全体实数（\(b \ge 0\)），要么为空集（\(b < 0\)）。
公式详解
从 \(ax + b \ge 0\) 出发。两边减去 \(b\)，得到 \(ax \ge -b\)。再两边除以 \(a\)——记住，若 \(a\) 为负数则要把不等号方向反过来：当 \(a > 0\) 时为 \(x \ge -\frac{b}{a}\)，当 \(a < 0\) 时为 \(x \le -\frac{b}{a}\)。其中 \(-\frac{b}{a}\) 就是被开方数等于零的临界点。
$$\sqrt{ax + b} \;\Rightarrow\; ax + b \ge 0 \;\Rightarrow\; x \ge -\frac{b}{a}$$
实例演算
以 \(f(x) = \sqrt{2x - 6}\) 为例，此时 \(a = 2\)，\(b = -6\)。求解 \(2x - 6 \ge 0\)，得到 \(2x \ge 6\)，即 \(x \ge 3\)。临界值为 $$-\frac{b}{a} = \frac{6}{2} = 3$$ 所以定义域为 \([3, \infty)\)。
常见问题
为什么被开方数必须非负？ 在实数范围内，任何数的平方都不会得到负数，因此 \(\sqrt{\text{负数}}\) 无意义、没有定义。
如果 \(a\) 是负数怎么办？ 不等式两边同时除以一个负数时，不等号方向要反过来，于是得到 \(x \le -\frac{b}{a}\)，这是一个向左延伸的区间。
临界点本身属于定义域吗？ 属于。在 \(x = -\frac{b}{a}\) 处，被开方数恰好等于零，而 \(\sqrt{0} = 0\) 是合法的实数结果，所以临界点包含在定义域内（用闭区间方括号表示）。
