Калькулятор области определения функции с квадратным корнем

Введите расчет

Коэффициент a

Свободный член b

Находит область определения f(x) = √(ax + b), решая неравенство ax + b ≥ 0.

Результатов

Domain of f(x) = √(1x + -4)

x ≥ 4

[4, ∞)

Граничное значение	4
Направление неравенства	1
Решённое неравенство	1x + -4 ≥ 0

Что делает этот калькулятор

Область определения функции — это весь набор значений аргумента (x), при которых функция даёт действительный результат. Для функции с квадратным корнем \(f(x) = \sqrt{ax + b}\) подкоренное выражение должно быть больше либо равно нулю, ведь извлечь квадратный корень из отрицательного числа в действительных числах нельзя. Калькулятор сам решает это условие и выдаёт область определения сразу в двух формах: в виде неравенства и в виде интервала.

Как пользоваться

Введите коэффициент a и свободный член b из подкоренного выражения \(ax + b\). Калькулятор решит неравенство \(ax + b \ge 0\). Если a положительное, область определения — \(x \ge -\frac{b}{a}\). Если a отрицательное, при делении знак неравенства меняется на противоположный, и получается \(x \le -\frac{b}{a}\). Если a равно нулю, под корнем остаётся только число b, поэтому область определения — это либо все действительные числа (при \(b \ge 0\)), либо пустое множество (при \(b < 0\)).

Разбор формулы

Начинаем с неравенства \(ax + b \ge 0\). Переносим b: \(ax \ge -b\). Делим на a, не забывая поменять знак неравенства, если a отрицательное:

$$\sqrt{a\,x + b} \;\Rightarrow\; a\,x + b \ge 0 \;\Rightarrow\; x \ge -\frac{b}{a}$$

\(x \ge -\frac{b}{a}\) (при \(a > 0\)) или \(x \le -\frac{b}{a}\) (при \(a < 0\)). Значение \(-\frac{b}{a}\) — это граничная точка, в которой подкоренное выражение обращается в ноль.

Область определения — все x, при которых \(ax + b\) неотрицательно: закрашенный луч начиная с \(-\frac{b}{a}\).

Пример с решением

Возьмём \(f(x) = \sqrt{2x - 6}\), то есть \(a = 2\) и \(b = -6\). Решаем \(2x - 6 \ge 0\), получаем \(2x \ge 6\), откуда \(x \ge 3\). Граничная точка равна \(-\frac{b}{a} = \frac{6}{2} = 3\), а область определения — \([3, \infty)\).

Кривая квадратного корня существует только справа от своей начальной точки, что соответствует вычисленной области определения.

Частые вопросы

Почему подкоренное выражение должно быть неотрицательным? В действительных числах никакое число в квадрате не даёт отрицательный результат, поэтому \(\sqrt{\text{отрицательное}}\) не определён.

Что делать, если a отрицательное? При делении обеих частей неравенства на отрицательное число знак меняется на противоположный, поэтому получается \(x \le -\frac{b}{a}\) — промежуток, уходящий влево.

Входит ли граничная точка в область определения? Да. В точке \(x = -\frac{b}{a}\) подкоренное выражение в точности равно нулю, а \(\sqrt{0} = 0\) — вполне допустимый действительный результат, поэтому граница включается (квадратная скобка).