वर्गमूल फलन का डोमेन निकालने वाला कैलकुलेटर

गणना दर्ज करें

गुणांक a

अचर b

ax + b ≥ 0 हल करके f(x) = √(ax + b) का डोमेन निकालता है।

परिणाम

Domain of f(x) = √(1x + -4)

x ≥ 4

[4, ∞)

सीमा-बिंदु का मान	4
दिशा कोड	1
हल की गई असमिका	1x + -4 ≥ 0

यह कैलकुलेटर क्या करता है

किसी फलन का डोमेन उन सभी इनपुट मानों (\(x\)) का पूरा समूह होता है जिनके लिए वह फलन एक वास्तविक (real) उत्तर देता है। वर्गमूल फलन \(f(x) = \sqrt{ax + b}\) में मूल चिह्न के अंदर की राशि — यानी रेडिकैंड — शून्य के बराबर या उससे बड़ी होनी चाहिए, क्योंकि किसी ऋणात्मक संख्या का वर्गमूल वास्तविक संख्या नहीं होता। यह टूल आपके लिए यही शर्त हल कर देता है और डोमेन को असमिका (inequality) तथा अंतराल (interval) — दोनों रूपों में दिखाता है।

इसका उपयोग कैसे करें

अपने रेडिकैंड \(ax + b\) में से गुणांक a और अचर b भरें। कैलकुलेटर \(ax + b \ge 0\) को हल करता है। यदि \(a\) धनात्मक है, तो डोमेन \(x \ge -\frac{b}{a}\) होता है। यदि \(a\) ऋणात्मक है, तो भाग देने पर असमिका का चिह्न उलट जाता है और परिणाम \(x \le -\frac{b}{a}\) मिलता है। यदि \(a\) शून्य है, तो रेडिकैंड केवल अचर \(b\) रह जाता है, इसलिए डोमेन या तो सभी वास्तविक संख्याएं होती हैं (\(b \ge 0\)) या खाली समुच्चय (\(b < 0\))।

सूत्र की पूरी समझ

शुरुआत \(ax + b \ge 0\) से करें। दोनों ओर से \(b\) घटाएं: \(ax \ge -b\)। अब \(a\) से भाग दें, पर ध्यान रखें कि यदि \(a\) ऋणात्मक है तो असमिका का चिह्न उलटना है: \(x \ge -\frac{b}{a}\) (जब \(a > 0\)) या \(x \le -\frac{b}{a}\) (जब \(a < 0\))। मान \(-\frac{b}{a}\) वह सीमा-बिंदु (boundary point) है जहां रेडिकैंड ठीक शून्य के बराबर हो जाता है।

डोमेन वे सभी \(x\) हैं जहाँ \(ax + b\) ऋणेतर है: \(-\frac{b}{a}\) से आगे की छायांकित किरण।

हल किया हुआ उदाहरण

मान लीजिए \(f(x) = \sqrt{2x - 6}\), यानी \(a = 2\) और \(b = -6\)। अब \(2x - 6 \ge 0\) हल करें, जिससे \(2x \ge 6\) और इस तरह \(x \ge 3\) मिलता है। सीमा-बिंदु $$-\frac{b}{a} = \frac{6}{2} = 3$$ है और डोमेन \([3, \infty)\) होगा।

वर्गमूल वक्र केवल अपने प्रारंभ बिंदु के दाईं ओर मौजूद होता है, जो गणना किए गए डोमेन से मेल खाता है।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

रेडिकैंड ऋणात्मक क्यों नहीं हो सकता? वास्तविक संख्याओं में किसी भी संख्या का वर्ग ऋणात्मक नहीं होता, इसलिए \(\sqrt{\text{ऋणात्मक}}\) अपरिभाषित (undefined) रहता है।

अगर a ऋणात्मक हो तो क्या होगा? किसी असमिका के दोनों पक्षों को ऋणात्मक संख्या से भाग देने पर उसकी दिशा उलट जाती है, इसलिए परिणाम \(x \le -\frac{b}{a}\) मिलता है — एक ऐसा अंतराल जो बाईं ओर फैलता है।

क्या सीमा-बिंदु भी डोमेन का हिस्सा होता है? हां। \(x = -\frac{b}{a}\) पर रेडिकैंड ठीक शून्य होता है और \(\sqrt{0} = 0\) एक मान्य वास्तविक उत्तर है, इसलिए सीमा-बिंदु शामिल किया जाता है (बंद कोष्ठक यानी closed bracket)।