平方根函數定義域計算器

輸入計算

係數 a

常數 b

透過解 ax + b ≥ 0，求出 f(x) = √(ax + b) 的定義域。

結果

Domain of f(x) = √(1x + -4)

x ≥ 4

[4, ∞)

邊界值	4
方向代碼	1
已解出的不等式	1x + -4 ≥ 0

這個計算器的功能

函數的定義域，是指能讓函數產生實數輸出的所有輸入值（x）的集合。對於平方根函數 \(f(x) = \sqrt{ax + b}\) 來說，根號內的式子（被開方數，radicand）必須大於或等於零，因為負數在實數範圍內沒有平方根。這個工具會替你解出這個條件，並同時以不等式記法與區間記法呈現定義域。

使用方式

輸入被開方數 \(ax + b\) 中的係數 a 與常數 b。計算器會解出 \(ax + b \ge 0\)。若 a 為正，定義域為 \(x \ge -\frac{b}{a}\)；若 a 為負，除以負數時不等號方向會反轉，因此得到 \(x \le -\frac{b}{a}\)；若 a 等於零，被開方數只剩常數 b，此時定義域不是全體實數（\(b \ge 0\)），就是空集合（\(b < 0\)）。

公式說明

從 \(ax + b \ge 0\) 開始。兩邊同減 b，得到 \(ax \ge -b\)。再除以 a——記得若 a 為負數，要把不等號方向反轉：當 \(a > 0\) 時為 \(x \ge -\frac{b}{a}\)，當 \(a < 0\) 時為 \(x \le -\frac{b}{a}\)。其中 \(-\frac{b}{a}\) 就是被開方數等於零的臨界點（邊界值）。

$$\sqrt{a\,x + b} \;\Rightarrow\; a\,x + b \ge 0 \;\Rightarrow\; x \ge -\frac{b}{a}$$

定義域是所有使 ax + b 非負的 x：從 -b/a 起向右的陰影射線。

範例演算

以 \(f(x) = \sqrt{2x - 6}\) 為例，此時 \(a = 2\)、\(b = -6\)。解 \(2x - 6 \ge 0\)，得到 \(2x \ge 6\)，因此 \(x \ge 3\)。邊界值為 \(-\frac{b}{a} = \frac{6}{2} = 3\)，所以定義域為 \([3, \infty)\)。

平方根曲線只存在於其起點的右側，與計算出的定義域一致。

常見問題

為什麼被開方數必須是非負數？ 在實數範圍內，任何數的平方都不會是負數，所以 \(\sqrt{負數}\) 無法定義。

如果 a 是負數該怎麼辦？ 不等式兩邊同除以負數時，不等號方向會反轉，因此會得到 \(x \le -\frac{b}{a}\)，這是一個向左延伸的區間。

邊界點本身屬於定義域嗎？ 是的。當 \(x = -\frac{b}{a}\) 時，被開方數剛好等於零，而 \(\sqrt{0} = 0\) 是合法的實數輸出，所以邊界點包含在內（以閉區間中括號表示）。