ماذا تفعل هذه الحاسبة
مجال الدالة هو مجموعة جميع قيم المُدخل (x) التي تُنتج عندها الدالة ناتجًا حقيقيًا. وفي حالة دالة الجذر التربيعي \(f(x) = \sqrt{ax + b}\) يجب أن يكون المقدار الواقع تحت الجذر — أي المقدار الجذري — أكبر من أو يساوي صفرًا، لأن الجذر التربيعي لعدد سالب ليس عددًا حقيقيًا. تتولّى هذه الأداة حلّ هذا الشرط نيابةً عنك وتعرض لك المجال بصيغتَي المتباينة والفترة.
طريقة الاستخدام
أدخِل المعامل a والثابت b من المقدار الجذري \(ax + b\). تقوم الحاسبة بحل المتباينة \(ax + b \ge 0\). فإذا كانت a موجبة، يكون المجال \(x \ge -\frac{b}{a}\). وإذا كانت a سالبة، فإن القسمة تعكس اتجاه المتباينة فيصبح المجال \(x \le -\frac{b}{a}\). أما إذا كانت a تساوي صفرًا، فإن المقدار الجذري يصبح هو الثابت b فقط، وعندها يكون المجال إما جميع الأعداد الحقيقية (إذا كان \(b \ge 0\)) أو مجموعة خالية (إذا كان \(b < 0\)).
شرح القانون
نبدأ من المتباينة \(ax + b \ge 0\). نطرح b من الطرفين: \(ax \ge -b\). ثم نقسم على a مع تذكُّر عكس إشارة المتباينة إذا كانت a سالبة: فيكون \(x \ge -\frac{b}{a}\) (عندما \(a > 0\)) أو \(x \le -\frac{b}{a}\) (عندما \(a < 0\)). والقيمة \(-\frac{b}{a}\) هي النقطة الحدّية التي يساوي عندها المقدار الجذري صفرًا.
مثال محلول
لنأخذ الدالة \(f(x) = \sqrt{2x - 6}\)، حيث \(a = 2\) و \(b = -6\). نحل المتباينة \(2x - 6 \ge 0\)، فنحصل على \(2x \ge 6\)، ومنها \(x \ge 3\). والنقطة الحدّية هي $$-\frac{b}{a} = \frac{6}{2} = 3$$ ويكون المجال هو \([3, \infty)\).
الأسئلة الشائعة
لماذا يجب ألا يكون المقدار الجذري سالبًا؟ في مجموعة الأعداد الحقيقية، لا يوجد عدد يُعطي ناتجًا سالبًا عند تربيعه، ولذلك فإن \(\sqrt{\text{عدد سالب}}\) غير مُعرَّف.
ماذا لو كانت a سالبة؟ قسمة طرفَي المتباينة على عدد سالب يعكس اتجاهها، فنحصل على \(x \le -\frac{b}{a}\)، وهي فترة تمتد نحو اليسار.
هل النقطة الحدّية تنتمي إلى المجال؟ نعم. عند \(x = -\frac{b}{a}\) يساوي المقدار الجذري صفرًا تمامًا، و\(\sqrt{0} = 0\) ناتج حقيقي صحيح، ولذلك تُضمَّن النقطة الحدّية ضمن المجال (قوس مغلق).
