この計算ツールでできること
関数の「定義域」とは、その関数が実数の出力を返すような入力値（x）すべての集合のことです。平方根関数 \(f(x) = \sqrt{ax + b}\) の場合、根号の中身（被開平数）は 0 以上でなければなりません。負の数の平方根は実数にならないからです。本ツールはこの条件を自動で解き、定義域を「不等式」と「区間」の2通りの表記で表示します。
使い方
被開平数 \(ax + b\) の係数 a と定数 b を入力してください。計算ツールが \(ax + b \ge 0\) を解きます。a が正のとき定義域は \(x \ge -\frac{b}{a}\) です。a が負のときは両辺を割ると不等号の向きが逆転し、\(x \le -\frac{b}{a}\) となります。a が 0 のときは被開平数が定数 b だけになるため、定義域はすべての実数（\(b \ge 0\) の場合）か、空集合（\(b < 0\) の場合）のいずれかになります。
公式の解説
まず \(ax + b \ge 0\) から始めます。両辺から b を引くと \(ax \ge -b\)。次に a で割りますが、a が負の場合は不等号の向きを逆にするのを忘れないでください。結果は $$\sqrt{ax + b} \;\Rightarrow\; ax + b \ge 0 \;\Rightarrow\; x \ge -\frac{b}{a}$$ となります（\(a > 0\) のとき）または \(x \le -\frac{b}{a}\)（\(a < 0\) のとき）となります。値 \(-\frac{b}{a}\) は、被開平数がちょうど 0 になる境界点です。
計算例
\(f(x) = \sqrt{2x - 6}\) を考えてみましょう。つまり \(a = 2\)、\(b = -6\) です。\(2x - 6 \ge 0\) を解くと \(2x \ge 6\)、よって \(x \ge 3\) となります。境界は $$-\frac{b}{a} = \frac{6}{2} = 3$$ で、定義域は \([3, \infty)\) です。
よくある質問
なぜ被開平数は 0 以上でなければならないのですか？ 実数の範囲では、どんな数を2乗しても負にはならないため、\(\sqrt{\text{負の数}}\) は定義されません。
a が負の場合はどうなりますか？ 不等式の両辺を負の数で割ると向きが逆転するため、\(x \le -\frac{b}{a}\) となり、左側へ伸びる区間になります。
境界点は定義域に含まれますか？ はい、含まれます。\(x = -\frac{b}{a}\) のとき被開平数はちょうど 0 になり、\(\sqrt{0} = 0\) は有効な実数の出力なので、境界は含まれます（閉じた括弧で表します）。
