제곱근 함수의 정의역 계산기

계산 입력

계수 a

상수 b

ax + b ≥ 0을 풀어 f(x) = √(ax + b)의 정의역을 구합니다.

결과

Domain of f(x) = √(1x + -4)

x ≥ 4

[4, ∞)

경계값	4
방향 코드	1
풀이된 부등식	1x + -4 ≥ 0

이 계산기는 무엇을 하나요

함수의 정의역이란 그 함수가 실수 값을 결과로 내놓을 수 있는 모든 입력값(x)의 집합을 말합니다. 제곱근 함수 \(f(x) = \sqrt{ax + b}\)에서는 근호 안의 식, 즉 피제곱근수(radicand)가 반드시 0 이상이어야 합니다. 음수의 제곱근은 실수가 아니기 때문이죠. 이 도구는 그 조건을 대신 풀어 정의역을 부등식과 구간 표기법, 두 가지 형태로 알려줍니다.

사용 방법

피제곱근수 \(ax + b\)에서 계수 a와 상수 b를 입력하세요. 계산기는 \(ax + b \ge 0\)을 풀어줍니다. a가 양수이면 정의역은 \(x \ge -\frac{b}{a}\) 입니다. a가 음수이면 부등호로 나눌 때 방향이 뒤집히므로 \(x \le -\frac{b}{a}\) 가 됩니다. a가 0이면 근호 안에는 상수 b만 남으므로, 정의역은 모든 실수(\(b \ge 0\)일 때)이거나 공집합(\(b < 0\)일 때)이 됩니다.

공식 풀이

\(ax + b \ge 0\)에서 시작합니다. 양변에서 b를 빼면 \(ax \ge -b\)가 됩니다. 이제 양변을 a로 나누는데, a가 음수라면 부등호 방향을 반드시 뒤집어야 합니다. 따라서 \(a > 0\)일 때는 \(x \ge -\frac{b}{a}\), \(a < 0\)일 때는 \(x \le -\frac{b}{a}\)가 됩니다. 값 \(-\frac{b}{a}\)는 근호 안의 식이 0이 되는 경계점입니다.

$$\sqrt{a\,x + b} \;\Rightarrow\; a\,x + b \ge 0 \;\Rightarrow\; x \ge -\frac{b}{a}$$

정의역은 \(ax + b\)가 음이 아닌 모든 x입니다: \(-\frac{b}{a}\)부터 이어지는 음영 처리된 반직선.

풀이 예제

\(f(x) = \sqrt{2x - 6}\)을 살펴봅시다. 여기서 \(a = 2\), \(b = -6\)입니다. \(2x - 6 \ge 0\)을 풀면 \(2x \ge 6\), 즉 \(x \ge 3\)이 됩니다. 경계점은 \(-\frac{b}{a} = \frac{6}{2} = 3\)이고, 정의역은 \([3, \infty)\)입니다.

제곱근 곡선은 시작점의 오른쪽에만 존재하며, 계산된 정의역과 일치합니다.

자주 묻는 질문

왜 근호 안의 값이 0 이상이어야 하나요? 실수 범위에서는 어떤 수를 제곱해도 음수가 나오지 않습니다. 그래서 \(\sqrt{\text{음수}}\)는 정의되지 않습니다.

a가 음수이면 어떻게 되나요? 부등식의 양변을 음수로 나누면 부등호 방향이 뒤집힙니다. 따라서 \(x \le -\frac{b}{a}\)가 되어, 정의역은 왼쪽으로 뻗는 구간이 됩니다.

경계점은 정의역에 포함되나요? 네, 포함됩니다. \(x = -\frac{b}{a}\)일 때 근호 안의 값은 정확히 0이고, \(\sqrt{0} = 0\)은 유효한 실수 값이므로 경계점이 포함됩니다(닫힌 괄호).