ما هو المثلث 30 60 90؟
المثلث 30-60-90 هو مثلث قائم الزاوية مميز، تبلغ قياسات زواياه الداخلية 30° و60° و90° بالضبط. ولأن الزوايا ثابتة، فإن أضلاعه الثلاثة تحافظ دائمًا على النسب نفسها. فإذا كان طول الضلع القصير (الضلع المقابل للزاوية 30°) يساوي \(x\)، فإن الضلع الطويل (المقابل للزاوية 60°) يساوي \(x\sqrt{3}\)، والوتر (المقابل للزاوية 90°) يساوي \(2x\). هذه النسبة \(1 : \sqrt{3} : 2\) تتيح لك حساب المثلث بأكمله انطلاقًا من ضلع واحد معلوم.
كيف تستخدم هذه الحاسبة
اختر الضلع الذي تعرف طوله مسبقًا — الضلع القصير، أو الضلع الطويل، أو الوتر — ثم أدخل قيمته. تقوم الحاسبة أولًا بحساب الضلع القصير \(x\)، ثم تشتق منه باقي القياسات: الأضلاع المتبقية والمساحة والمحيط. وهي تعمل مع أي عدد موجب وأي وحدة قياس (سنتيمتر، متر، بوصة، قدم) طالما حافظت على استخدام الوحدة نفسها.
شرح المعادلة
كل شيء يُبنى على الضلع القصير \(x\). فإذا كان الضلع الطويل معلومًا: \(x = \text{الطويل} \div \sqrt{3}\)، وإذا كان الوتر معلومًا: \(x = \text{الوتر} \div 2\). بعد ذلك يكون الضلع الطويل:
$$\text{short} : \text{long} : \text{hyp} = x : x\sqrt{3} : 2x$$والوتر = \(2x\)، والمساحة:
$$A = \frac{\sqrt{3}}{2}\,x^2$$والمحيط = \(x + x\sqrt{3} + 2x = x(3 + \sqrt{3})\).
مثال محلول
لنفترض أن طول الضلع القصير هو 5. عندها يكون الضلع الطويل:
$$5 \times \sqrt{3} \approx 8.66$$والوتر:
$$2 \times 5 = 10$$والمساحة:
$$\frac{\sqrt{3}}{2} \times 5^2 \approx 21.65$$والمحيط:
$$5 + 8.66 + 10 = 23.66$$جدول مرجعي لنسب الأضلاع 30-60-90
في كل مثلث قائم الزاوية 30-60-90، تحتفظ الأضلاع الثلاثة بنسبة ثابتة \(1 : \sqrt{3} : 2\). إذا كان الضلع القصير (المقابل للزاوية 30°) هو \(a\)، فإن الضلع الطويل (المقابل لـ 60°) يكون \(a\sqrt{3}\) والوتر (المقابل للزاوية 90°) يكون \(2a\). المساحة هي \(\tfrac{\sqrt{3}}{2}a^{2}\) والمحيط هو \(a(3+\sqrt{3})\). يسرد الجدول أدناه القيم الدقيقة والتقريبية (باستخدام \(\sqrt{3}\approx1.732\)) لعدة أطوال شائعة للضلع القصير.
| الضلع القصير \(a\) | الضلع الطويل \(a\sqrt{3}\) | الوتر \(2a\) | المساحة \(\tfrac{\sqrt{3}}{2}a^{2}\) | المحيط \(a(3+\sqrt{3})\) |
|---|---|---|---|---|
| 1 | \(\sqrt{3}\approx1.732\) | 2 | \(\tfrac{\sqrt{3}}{2}\approx0.866\) | \(3+\sqrt{3}\approx4.732\) |
| 2 | \(2\sqrt{3}\approx3.464\) | 4 | \(2\sqrt{3}\approx3.464\) | \(\approx9.464\) |
| 5 | \(5\sqrt{3}\approx\) 8.660 | 10 | \(\tfrac{25\sqrt{3}}{2}\approx21.651\) | \(\approx23.660\) |
| 10 | \(10\sqrt{3}\approx17.321\) | 20 | \(50\sqrt{3}\approx86.603\) | \(\approx47.321\) |
يتغير كل صف بشكل خطي: مضاعفة الضلع القصير تضاعف كل ضلع والمحيط، لكنها تضاعف المساحة أربع مرات (لأن المساحة تعتمد على \(a^{2}\)).
الأسئلة الشائعة
أي ضلع هو الضلع القصير؟ الضلع القصير هو دائمًا الضلع المقابل لأصغر زاوية، أي 30°. وهو أقصر الأضلاع الثلاثة.
هل يمكنني إدخال طول الوتر؟ نعم. اختر "الوتر" من القائمة، وستقسمه الحاسبة على 2 لإيجاد الضلع القصير ثم تعيد حساب المثلث بالكامل.
هل الضلع الطويل يساوي ضعف الضلع القصير؟ لا — وهذا خطأ شائع. الوتر هو الذي يساوي ضعف الضلع القصير، أما الضلع الطويل فيساوي الضلع القصير مضروبًا في \(\sqrt{3}\) (≈1.732).
