ما الذي تقوم به هذه الحاسبة
تأخذ هذه الأداة قائمة من الأرقام وتُرجع لك أنواع "المتوسطات" الثلاثة الكلاسيكية المستخدمة في الرياضيات والإحصاء: المتوسط الحسابي والمتوسط الهندسي والمتوسط التوافقي. كما تعرض لك الوسيط وأصغر قيمة وأكبر قيمة. الحسابات هنا رياضية بحتة ومجردة من الوحدات، لذا تنطبق بالطريقة نفسها في كل مكان دون أي حاجة لتحويل الوحدات.
كيفية الاستخدام
اكتب بياناتك أو الصقها في الصندوق مفصولة بفواصل أو مسافات أو أسطر جديدة — على سبيل المثال 4, 8, 16 أو قيمة واحدة في كل سطر. يتم تجاهل الخانات الفارغة أو غير الرقمية، ويمثل \(n\) عدد الأرقام الصحيحة المُدخَلة. اختر عدد الأرقام المعنوية المراد عرضها (يؤثر هذا فقط في طريقة تقريب النتائج، لا في الحساب نفسه).
شرح المعادلات
المتوسط الحسابي يجمع كل القيم ويقسمها على \(n\). أما المتوسط الهندسي فيضرب كل القيم ويأخذ الجذر النوني للناتج؛ ويُحسب عددياً عبر exp(متوسط اللوغاريتمات الطبيعية)، وهو صالح فقط عندما تكون جميع القيم موجبة. والمتوسط التوافقي هو \(n\) مقسوماً على مجموع مقلوبات القيم، ويتطلب أن تكون كل قيمة مختلفة عن الصفر. أما الوسيط فيُرتِّب القيم ثم يأخذ القيمة الوسطى (أو متوسط القيمتين الوسطيتين عندما يكون \(n\) زوجياً).
$$A = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i, \qquad G = \sqrt[n]{\prod_{i=1}^{n} x_i}, \qquad H = \frac{n}{\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{x_i}}$$$$\text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} x_i &= \text{Data values} \\ n &= \text{count of values} \end{aligned} \right.$$
مثال محلول
لِنأخذ البيانات 1، 2، 3، 4، 5 (حيث \(n = 5\)): المتوسط الحسابي \(= 15/5 = 3\)؛ المتوسط الهندسي \(= 120^{1/5} \approx 2.605171085\)؛ المتوسط التوافقي \(= 5 / (1 + 0.5 + 0.333\ldots + 0.25 + 0.2) \approx 2.189781022\)؛ الوسيط \(= 3\)؛ أصغر قيمة \(= 1\)؛ أكبر قيمة \(= 5\). لاحظ أن \(2.1898 \le 2.6052 \le 3\)، وهو ما يؤكد متباينة المتوسطات الحسابي-الهندسي-التوافقي (AM-GM-HM).
عندما تتباعد الوسائط: مقارنة السيناريوهات
تتطابق الوسائط الكلاسيكية الثلاث فقط عندما تكون كل قيمة في مجموعة البيانات متطابقة. وبمجرد أن تنتشر القيم، يقف الوسط الحسابي (A) في الأعلى، والوسط التوافقي (H) في الأسفل، والوسط الهندسي (G) بينهما. كلما اتسعت الفجوة، زادت الفجوات. يوضح الجدول أدناه عدة مجموعات بيانات واقعية مع حساب كل وسط إلى 4 منازل عشرية.
| مجموعة البيانات | الصفة | الوسط الحسابي (A) | الوسط الهندسي (G) | الوسط التوافقي (H) | فجوة A − H |
|---|---|---|---|---|---|
| 5, 5, 5, 5 | جميع القيم متساوية | 5.0000 | 5.0000 | 5.0000 | 0.0000 |
| 2, 4, 6, 8 | مباعدة متساوية | 5.0000 | 4.4267 | 3.8400 | 1.1600 |
| 1.05, 1.10, 1.20 | عوامل النمو | 1.1167 | 1.1146 | 1.1125 | 0.0042 |
| 1, 10, 100 | منحرفة جداً | 37.0000 | 10.0000 | 2.7027 | 34.2973 |
| 40, 60 | سرعتان (كم/س) | 50.0000 | 48.9898 | 48.0000 | 2.0000 |
لاحظ صف القيم المتساوية: الوسائط الثلاثة تساوي بالضبط 5 والفجوة تساوي صفراً. صف "1, 10, 100" هو الطرف الآخر المتطرف — القيم تمتد عبر رتبتين من الحجم، لذا فإن الوسط الحسابي (37) تسيطر عليه القيمة الأكبر بينما يُسحب الوسط التوافقي (≈2.70) نحو الأصغر. الوسط الهندسي (بالضبط 10) يقع في مركز المقياس الضربي.
اختيار الوسط الصحيح
كل وسط يجيب على سؤال مختلف، واستخدام الخطأ يمكن أن ينتج عنه "متوسط" مضلل. يعتمد الاختيار على كيفية ارتباط الكميات الأساسية.
- الوسط الحسابي (A) — استخدمه لـ الكميات الجمعية، حيث تكون الإجماليات ذات مغزى: درجات الاختبار والارتفاعات ودرجات الحرارة والعدادات اليومية أو المبالغ بالدولار. إنها القيمة التي، عند تكرارها \(n\) مرات، تعطي نفس المجموع مثل البيانات.
- الوسط الهندسي (G) — استخدمه للـ الكميات الضربية والنسب والنمو المركب: عوائد الاستثمارات ومعدلات نمو السكان أو الإيرادات والأرقام القياسية وأي شيء يتم قياسه كتغيير نسبة مئوية عبر الزمن. حساب متوسط عوامل النمو (مثلاً 1.05, 1.10, 1.20) باستخدام الوسط الهندسي يعطي المعدل الثابت الذي يعيد إنتاج نفس النتيجة التراكمية — نفس المنطق وراء معدل النمو السنوي المركب.
- الوسط التوافقي (H) — استخدمه عند حساب متوسط المعدلات المعرّفة بالنسبة إلى كمية ثابتة: متوسط السرعة على مسافات متساوية أو نسب السعر إلى الأرباح (P/E) عبر المحفظة، أو كفاءة استهلاك الوقود. إذا قدت جزءاً واحداً بسرعة 40 كم/س وجزءاً متساوياً بسرعة 60 كم/س، فإن متوسط سرعتك هو الوسط التوافقي، 48 كم/س، وليس الوسط الحسابي 50 كم/س.
لأي قائمة بالأعداد الموجبة، الوسائط تحقق دائماً المتراجحة $$A \ge G \ge H,$$ حيث المساواة تحدث فقط عندما تكون كل قيمة متطابقة. كلما زاد التشتت في البيانات، زادت هذه الفجوات — وهذا هو السبب في أن الوسط الهندسي هو الخيار المحافظ للعوائد المركبة والوسط التوافقي هو الخيار الصحيح (الأدنى) عندما يجب أن تتمتع المعدلات البطيئة بوزن أكبر.
هذه معلومات تعليمية عامة عن المتوسطات الإحصائية، وليست نصيحة مالية احترافية. عندما تحكم الأرقام قراراً استثمارياً أو تجارياً، استشر متخصصاً مؤهلاً.
الأسئلة الشائعة
لماذا يظهر المتوسط الهندسي بصيغة "غير متاح"؟ الجذر النوني الحقيقي لحاصل ضرب يكون غير معرَّف عندما تكون إحدى القيم سالبة، لذا تُنبِّهك الأداة عند إدخال قيم سالبة. كما أن وجود قيمة صفر واحدة يجعل حاصل الضرب (والمتوسط الهندسي) مساوياً للصفر.
لماذا تُعطِّل القيمة صفر حساب المتوسط التوافقي؟ لأن المتوسط التوافقي يقسم على مجموع المقلوبات، و\(1/0\) قيمة لانهائية، لذلك يصبح المتوسط التوافقي غير معرَّف عند وجود أي قيمة تساوي صفراً.
أي متوسط ينبغي أن أستخدم؟ استخدم المتوسط الحسابي للكميات التجميعية، والمتوسط الهندسي لمعدلات النمو أو النسب، والمتوسط التوافقي عند حساب متوسط المعدلات مثل السرعات.
