Qu'est-ce que la loi Bêta ?
La loi Bêta est une loi de probabilité continue définie sur l'intervalle [0, 1] et pilotée par deux paramètres de forme strictement positifs, \(\alpha\) (alpha) et \(\beta\) (bêta). Comme elle vit sur l'intervalle unité, c'est le choix naturel pour modéliser des proportions, des probabilités, des pourcentages et des taux — par exemple un taux de conversion, une moyenne au bâton, ou encore la probabilité de succès inconnue en inférence bayésienne (elle est la loi a priori conjuguée de la loi binomiale).
Comment utiliser ce calculateur
Saisissez vos deux paramètres de forme \(\alpha\) et \(\beta\) (tous deux doivent être supérieurs à 0) ainsi qu'une valeur \(x\) comprise entre 0 et 1. Le calculateur renvoie la densité de probabilité \(f(x)\) en ce point, accompagnée de la moyenne, de la variance, de l'écart-type et du mode de la loi. Plus \(\alpha\) est grand, plus la masse se déplace vers 1 ; plus \(\beta\) est grand, plus elle se déplace vers 0 ; des valeurs égales rendent la courbe symétrique autour de 0,5.
La formule expliquée
La moyenne vaut $$\mu = \frac{\alpha}{\alpha+\beta}$$ et la variance $$\sigma^2 = \frac{\alpha\,\beta}{\left(\alpha+\beta\right)^2\left(\alpha+\beta+1\right)}$$ La densité de probabilité s'écrit $$f(\text{x};\,\alpha,\beta) = \frac{\text{x}^{\,\alpha-1}\left(1-\text{x}\right)^{\beta-1}}{B\!\left(\alpha,\beta\right)}$$ où \(B(\alpha, \beta) = \Gamma(\alpha)\Gamma(\beta) / \Gamma(\alpha + \beta)\) est la fonction Bêta qui normalise la courbe pour que son aire totale soit égale à 1. Le mode (le pic) existe en $$\text{Mode} = \frac{\alpha-1}{\alpha+\beta-2}$$ lorsque \(\alpha\) et \(\beta\) sont tous deux supérieurs à 1.
Exemple concret
Prenons \(\alpha = 2\), \(\beta = 5\), \(x = 0{,}5\). La moyenne est \(2/7 \approx 0{,}2857\). La variance vaut $$\frac{2\cdot 5}{7^2\cdot 8} = \frac{10}{392} \approx 0{,}02551$$ Avec \(B(2, 5) = 1/30\), la densité est $$f(0{,}5) = 0{,}5^1\cdot 0{,}5^4 \cdot 30 = 0{,}5^5 \cdot 30 = 0{,}03125 \cdot 30 = 0{,}9375$$
Comment les paramètres de forme modifient la distribution
La distribution bêta vit sur l'intervalle \([0,1]\) et sa forme entière est contrôlée par les deux paramètres de forme positifs \(\alpha\) et \(\beta\). La moyenne est toujours \(\mu = \dfrac{\alpha}{\alpha+\beta}\), la variance est \(\sigma^2 = \dfrac{\alpha\beta}{(\alpha+\beta)^2(\alpha+\beta+1)}\), et le mode (quand \(\alpha,\beta>1\)) est \(\dfrac{\alpha-1}{\alpha+\beta-2}\). Le tableau ci-dessous présente plusieurs paires de paramètres classiques.
| (α, β) | Forme | Moyenne = α/(α+β) | Mode | Variance |
|---|---|---|---|---|
| (1, 1) | Uniforme (plate) sur [0,1] | 0.5 | aucun (plate) | 0.0833 |
| (0.5, 0.5) | En U (masse aux deux extrémités, arcsinus) | 0.5 | 0 et 1 (antimodes) | 0.1250 |
| (2, 2) | Cloche symétrique, pointue au centre | 0.5 | 0.5 | 0.0500 |
| (5, 5) | Cloche symétrique plus serrée | 0.5 | 0.5 | 0.0227 |
| (2, 5) | Asymétrique à droite (masse vers 0) | 0.2857 | 0.2 | 0.0255 |
| (5, 2) | Asymétrique à gauche (masse vers 1) | 0.7143 | 0.8 | 0.0255 |
Deux modèles se distinguent. Premièrement, l'échange de \(\alpha\) et \(\beta\) reflète la distribution autour de \(x=0.5\), donc (2,5) et (5,2) ont la même forme et variance mais une asymétrie opposée. Deuxièmement, l'augmentation des deux paramètres tout en maintenant leur ratio constant (par exemple (2,2) \(\to\) (5,5)) maintient la moyenne à 0.5 mais réduit la variance, concentrant la courbe plus étroitement autour de la moyenne.
Interpréter votre résultat bêta
Comme la distribution bêta est supportée sur \([0,1]\), c'est le modèle naturel pour une proportion, une probabilité ou un taux inconnu. Chaque statistique récapitulative répond à une question différente :
- Moyenne \(\mu=\alpha/(\alpha+\beta)\) est la proportion attendue — votre meilleure estimation à un seul nombre de la probabilité sous-jacente.
- Mode \((\alpha-1)/(\alpha+\beta-2)\) est la valeur la plus probable, c'est-à-dire l'emplacement du pic de la densité. Il existe en tant que pic intérieur uniquement quand \(\alpha>1\) et \(\beta>1\) ; sinon, la masse s'accumule à une extrémité.
- Variance et écart-type mesurent l'étalement, ou l'incertitude qui subsiste quant à la proportion. Un petit écart-type signifie que vous êtes confiant que la vraie valeur se situe près de la moyenne.
La quantité \(\alpha+\beta\) agit comme une taille d'échantillon ou concentration : plus elle est grande, plus la variance est petite et plus la densité se concentre fortement autour de la moyenne. Deux distributions peuvent partager la même moyenne mais avoir une certitude très différente — Beta(2,2) et Beta(50,50) sont toutes deux centrées à 0.5, mais cette dernière est bien plus étroite.
En inférence bayésienne, la bêta est le prior conjugué pour une vraisemblance binomiale (Bernoulli). Si vous commencez par un prior bêta(\(\alpha_0,\beta_0\)) et observez ensuite \(s\) succès et \(f\) échecs, le posterior est simplement bêta(\(\alpha_0+s,\ \beta_0+f\)). Avec un prior uniforme bêta(1,1), \(\alpha\) compte effectivement les succès \(+1\) et \(\beta\) compte les échecs \(+1\) ; la moyenne posterieure \((s+1)/(s+f+2)\) est la règle classique de succession de Laplace.
Enfin, rappelez-vous que \(f(x)\) est une densité de probabilité, pas une probabilité. Sa valeur peut dépasser 1 (par exemple près du pic d'une bêta très concentrée), et seule l'aire sous la courbe entre deux points — jamais la hauteur en un seul point — donne une probabilité réelle. L'aire totale sur \([0,1]\) égale toujours 1.
Définitions et glossaire
- α (alpha)
- Le premier paramètre de forme, \(\alpha>0\). En gros, il représente le poids des « succès » ; un \(\alpha\) plus grand pousse la masse vers 1.
- β (bêta)
- Le deuxième paramètre de forme, \(\beta>0\). En gros, il représente le poids des « échecs » ; un \(\beta\) plus grand pousse la masse vers 0.
- Densité f(x)
- La fonction de densité de probabilité, \(f(x;\alpha,\beta)=\dfrac{x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}}{B(\alpha,\beta)}\) pour \(0\le x\le 1\). Elle décrit la vraisemblance relative ; les probabilités sont des aires sous celle-ci.
- Fonction bêta B(α,β)
- La constante de normalisation, \(B(\alpha,\beta)=\displaystyle\int_0^1 t^{\alpha-1}(1-t)^{\beta-1}\,dt=\dfrac{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}{\Gamma(\alpha+\beta)}\). La diviser par cela rend la densité d'intégration égale à 1.
- Fonction gamma Γ
- Une extension continue de la factorielle, \(\Gamma(n)=(n-1)!\) pour les entiers positifs, définie généralement par \(\Gamma(z)=\int_0^\infty t^{z-1}e^{-t}\,dt\). Elle lie les fonctions bêta et gamma ci-dessus.
- Moyenne
- La valeur attendue, \(\mu=\dfrac{\alpha}{\alpha+\beta}\) — la proportion moyenne à long terme.
- Variance
- Une mesure de l'étalement, \(\sigma^2=\dfrac{\alpha\beta}{(\alpha+\beta)^2(\alpha+\beta+1)}\).
- Écart-type
- La racine carrée de la variance, \(\sigma=\sqrt{\sigma^2}\), exprimée dans les mêmes unités que \(x\).
- Mode
- La valeur la plus probable (pic de la densité), \(\dfrac{\alpha-1}{\alpha+\beta-2}\) quand \(\alpha>1\) et \(\beta>1\).
- Prior conjugué
- Une distribution prior qui, combinée avec une vraisemblance donnée, donne un posterior dans la même famille. La bêta est le prior conjugué pour la vraisemblance binomiale/Bernoulli.
- Support [0,1]
- L'intervalle des valeurs que la variable aléatoire peut prendre. La distribution bêta est définie uniquement sur l'intervalle fermé \([0,1]\), ce qui la rend idéale pour les proportions et les probabilités.
FAQ
\(\alpha\) ou \(\beta\) peuvent-ils être inférieurs à 1 ? Oui — des valeurs inférieures à 1 produisent une courbe en U ou en J, dont la densité s'envole vers les extrémités. La densité aux bornes peut alors être non bornée.
Quand la loi Bêta est-elle uniforme ? Lorsque \(\alpha = \beta = 1\), la densité est plate et vaut 1 partout sur [0, 1] — elle se confond alors avec la loi uniforme.
Pourquoi x doit-il rester entre 0 et 1 ? La loi Bêta a une densité nulle en dehors de [0, 1] : les valeurs hors de cet intervalle ne sont donc pas définies pour la densité.
