यह कैलकुलेटर क्या करता है
यह टूल किसी केंद्रीय पिंड — जैसे ग्रह, चंद्रमा या तारा — से एक निश्चित दूरी पर स्थित वस्तु के लिए वृत्तीय कक्षीय वेग और पलायन वेग की गणना करता है। ये दोनों मान केवल केंद्रीय पिंड के द्रव्यमान \(M\) और कक्षीय त्रिज्या \(r\) पर निर्भर करते हैं, और इसमें सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण स्थिरांक \(G = 6.674 \times 10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2\) का उपयोग होता है।
इसका उपयोग कैसे करें
केंद्रीय पिंड का द्रव्यमान किलोग्राम में दर्ज करें (उदाहरण के लिए, पृथ्वी का द्रव्यमान \(5.972 \times 10^{24}\ \text{kg}\) है) और कक्षीय त्रिज्या मीटर में दर्ज करें, जिसे पिंड के केंद्र से मापा जाता है (पृथ्वी की सतह की त्रिज्या लगभग \(6.371 \times 10^{6}\ \text{m}\) है)। आप मानों को वैज्ञानिक संकेतन (scientific notation) में "e" प्रारूप के साथ टाइप कर सकते हैं, जैसे 5.972e24। कैलकुलेटर कक्षीय वेग को m/s और km/s दोनों में बताता है, साथ ही पलायन वेग भी।
सूत्र की व्याख्या
कक्षीय वेग, गुरुत्वाकर्षण बल और वृत्तीय गति के लिए आवश्यक अभिकेंद्रीय बल के संतुलन से प्राप्त होता है:
$$v = \sqrt{\dfrac{G M}{r}}$$पलायन वेग वह गति है जिस पर गतिज ऊर्जा, गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा के बराबर हो जाती है, जो देती है
$$v_{esc} = \sqrt{\dfrac{2 G M}{r}}$$— यानी कक्षीय वेग का ठीक \(\sqrt{2}\) गुना।
हल किया गया उदाहरण
पृथ्वी की सतह के बिल्कुल पास चक्कर लगा रहे उपग्रह के लिए (\(M = 5.972 \times 10^{24}\ \text{kg}\), \(r = 6.371 \times 10^{6}\ \text{m}\)):
$$v = \sqrt{\dfrac{6.674\text{e-}11 \times 5.972\text{e}24}{6.371\text{e}6}} \approx 7{,}909\ \text{m/s}$$(लगभग 7.91 km/s)। पलायन वेग:
$$v_{esc} = \sqrt{2} \times 7{,}909 \approx 11{,}185\ \text{m/s}$$जो सुप्रसिद्ध मान 11.2 km/s के बहुत करीब है।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
पलायन वेग, कक्षीय वेग से अधिक क्यों होता है? किसी पिंड के गुरुत्वाकर्षण से पूरी तरह बाहर निकलने के लिए उसी त्रिज्या पर स्थिर वृत्तीय कक्षा के वेग से \(\sqrt{2} \approx 1.414\) गुना अधिक गति की आवश्यकता होती है।
क्या परिक्रमा करने वाली वस्तु के द्रव्यमान का कोई प्रभाव पड़ता है? नहीं — दोनों वेग परिक्रमा करने वाली वस्तु के द्रव्यमान से स्वतंत्र होते हैं; केवल केंद्रीय पिंड का द्रव्यमान और त्रिज्या ही मायने रखते हैं।
मुझे कौन-सी त्रिज्या इस्तेमाल करनी चाहिए? केंद्रीय पिंड के केंद्र से दूरी का उपयोग करें, न कि उसकी सतह से ऊँचाई का। अपनी ऊँचाई में पिंड की त्रिज्या जोड़ दें।
