किसी बिंदु से गुजरने वाली लंब रेखा का कैलकुलेटर

गणना दर्ज करें

दी गई रेखा की ढलान (m)

बिंदु x₁

बिंदु y₁

परिणाम

लंब रेखा का समीकरण

y = -0.5x + 5.5

ढलान-अंतःखंड रूप

लंब ढलान	-0.5
Y-अंतःखंड (b)	5.5

यह कैलकुलेटर क्या करता है

यह टूल उस सीधी रेखा का समीकरण निकालता है जो किसी दी गई रेखा पर लंब (perpendicular) होती है और किसी एक खास बिंदु से होकर गुजरती है। आप मूल रेखा की ढलान m और किसी बिंदु के निर्देशांक \((x_1, y_1)\) दर्ज करते हैं, और यह लंब रेखा को ढलान-अंतःखंड रूप, यानी \(y = mx + b\) में लौटा देता है।

इसका इस्तेमाल कैसे करें

सबसे पहले उस रेखा की ढलान दर्ज करें जिस पर आपको लंब रेखा बनानी है, फिर उस बिंदु के x और y निर्देशांक डालें जिससे आपकी नई रेखा गुजरनी चाहिए। कैलकुलेटर लंब ढलान और y-अंतःखंड की गणना करके पूरा समीकरण दिखा देता है। अगर मूल रेखा क्षैतिज (horizontal, \(m = 0\)) है, तो लंब रेखा ऊर्ध्वाधर (vertical) होगी और उसे \(x = x_1\) के रूप में दिखाया जाता है।

सूत्र की समझ

दो गैर-ऊर्ध्वाधर रेखाएँ तब लंब होती हैं जब उनकी ढलानों का गुणनफल −1 हो। इसलिए लंब ढलान मूल ढलान का ऋणात्मक व्युत्क्रम (negative reciprocal) होती है: \(m_\perp = -1/m\)। बिंदु-ढलान रूप का प्रयोग करके,

$$y - y_1 = m_\perp\left(x - x_1\right)$$

और इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर मिलता है \(y = m_\perp x + b\), जहाँ अंतःखंड \(b = y_1 - m_\perp \cdot x_1\)।

विज्ञापन

लंब रेखा मूल रेखा को 90° के कोण पर काटती है और दिए गए बिंदु से होकर गुजरती है।

हल किया हुआ उदाहरण

मान लीजिए मूल रेखा की ढलान \(m = 2\) है और बिंदु \((3, 4)\) है। तब लंब ढलान \(-1/2\) होगी। अब

$$b = 4 - \left(-\frac{1}{2}\right)(3) = 4 + 1.5 = 5.5$$

इसलिए लंब रेखा का समीकरण है \(y = -0.5x + 5.5\)।

लंब रेखा का ढाल मूल ढाल का ऋणात्मक व्युत्क्रम होता है: \(-1/m\)।

अक्सर पूछे जाने वाले सवाल

अगर दी गई ढलान 0 हो तो क्या होगा? क्षैतिज रेखा (ढलान 0) किसी ऊर्ध्वाधर रेखा पर लंब होती है, जिसकी कोई परिभाषित ढलान नहीं होती। ऐसे में परिणाम \(x = x_1\) के रूप में दिखाया जाता है।

ऋणात्मक व्युत्क्रम ही क्यों? लंब रेखाएँ 90° पर मिलती हैं। शर्त \(m_1 \cdot m_2 = -1\) इसी बात को दर्शाती है, इसलिए \(m_2 = -1/m_1\) होता है।

क्या बिंदु से ढलान बदलती है? नहीं — बिंदु केवल y-अंतःखंड (यानी रेखा की स्थिति) तय करता है। ढलान सिर्फ मूल रेखा पर निर्भर करती है।