Что значит избавиться от иррациональности в знаменателе?
Избавление от иррациональности в знаменателе — это алгебраический приём, при котором дробь переписывают так, чтобы в знаменателе не осталось радикала (квадратного корня). Хотя запись вида \(1/\sqrt{2}\) совершенно корректна, стандартной упрощённой формой считается \(\sqrt{2}/2\). Этот калькулятор работает с двумя распространёнными случаями: с одиночным корнем в знаменателе \(a/\sqrt{b}\) и с биномиальным (сопряжённым) знаменателем \(a/(c+\sqrt{d})\).
Как пользоваться калькулятором
Выберите тип знаменателя. Для простого случая введите числитель a и значение b под знаком корня. Для сопряжённого случая укажите a, рациональную часть c и значение d под корнем. Калькулятор покажет рационализированный знаменатель и точное десятичное значение всего выражения — так удобно проверять расчёты, сделанные вручную.
Разбор формулы
В случае одиночного корня умножаем числитель и знаменатель на \(\sqrt{b}\):
$$\frac{a}{\sqrt{b}} = \frac{a\,\sqrt{b}}{b}$$поскольку \(\sqrt{b}\cdot\sqrt{b} = b\), знаменатель превращается в целое число \(b\), и дробь принимает вид \(a\sqrt{b}/b\). Для биномиального знаменателя умножаем на сопряжённое выражение \(c-\sqrt{d}\). По формуле разности квадратов
$$\frac{a}{c + \sqrt{d}} = \frac{a\left(c - \sqrt{d}\right)}{c^{2} - d}$$\((c+\sqrt{d})(c-\sqrt{d}) = c^{2} - d\) корень исчезает, и знаменатель становится рациональным числом \(c^{2} - d\).
Пример с решением
Возьмём \(6/(1+\sqrt{3})\). Сопряжённое выражение — это \(1-\sqrt{3}\), а новый знаменатель равен \(1^{2} - 3 = -2\). Тогда выражение равно
$$\frac{6(1-\sqrt{3})}{-2} = -3(1-\sqrt{3}) = 3\sqrt{3} - 3 \approx 2{,}196.$$Калькулятор выдаёт это десятичное значение автоматически.
Частые вопросы
Зачем вообще избавляться от иррациональности? Это даёт стандартную форму записи, которую проще сравнивать, складывать и проверять, а раньше она к тому же упрощала ручную оценку десятичного значения.
Что делать, если \(c^{2} - d\) отрицательно? Ничего страшного — знаменатель всё равно остаётся рациональным, просто меняется знак, как в примере выше.
Обязательно ли \(b\) должно быть полным квадратом? Нет. Если \(b\) — полный квадрат, то убирать нечего, корня и так нет, но метод работает для любого положительного \(b\).
