Trục Căn Thức Ở Mẫu Là Gì?
Trục căn thức ở mẫu là kỹ thuật đại số giúp viết lại một phân số sao cho mẫu số không còn chứa dấu căn (căn bậc hai). Mặc dù một giá trị như \(1/\sqrt{2}\) hoàn toàn hợp lệ, nhưng dạng rút gọn chuẩn mực mà ta thường gặp trong sách giáo khoa là \(\sqrt{2}/2\). Máy tính này xử lý hai trường hợp phổ biến: mẫu số là một căn đơn \(a/\sqrt{b}\) và mẫu số dạng nhị thức (liên hợp) \(a/(c+\sqrt{d})\).
Cách Sử Dụng Máy Tính
Trước tiên hãy chọn dạng mẫu số. Với trường hợp đơn giản, bạn nhập tử số a và giá trị b nằm dưới dấu căn. Với trường hợp liên hợp, bạn nhập a, phần hữu tỉ c và giá trị d dưới dấu căn. Công cụ sẽ trả về mẫu số đã được trục căn cùng giá trị thập phân chính xác của toàn bộ biểu thức, giúp bạn dễ dàng đối chiếu với phần làm bài bằng tay.
Giải Thích Công Thức
Với mẫu là một căn đơn, ta nhân cả tử và mẫu cho \(\sqrt{b}\): vì \(\sqrt{b}\cdot\sqrt{b} = b\), nên mẫu số trở thành số nguyên \(b\), cho kết quả \(a\sqrt{b}/b\).
$$\frac{\text{a}}{\sqrt{\text{b}}} = \frac{\text{a}\,\sqrt{\text{b}}}{\text{b}}$$Với mẫu số dạng nhị thức, ta nhân cả tử và mẫu cho biểu thức liên hợp \(c-\sqrt{d}\). Áp dụng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương \((c+\sqrt{d})(c-\sqrt{d}) = c^{2} - d\), dấu căn sẽ triệt tiêu và mẫu số trở thành số hữu tỉ \(c^{2} - d\).
$$\frac{\text{a}}{\text{c} + \sqrt{\text{d}}} = \frac{\text{a}\left(\text{c} - \sqrt{\text{d}}\right)}{\text{c}^{2} - \text{d}}$$
Ví Dụ Minh Họa
Xét biểu thức \(6/(1+\sqrt{3})\). Biểu thức liên hợp là \(1-\sqrt{3}\), và mẫu số mới là \(1^{2} - 3 = -2\). Như vậy biểu thức bằng
$$\frac{6(1-\sqrt{3})}{-2} = -3(1-\sqrt{3}) = 3\sqrt{3} - 3 \approx 2{,}196$$Máy tính sẽ tự động cho ra giá trị thập phân này.
Câu Hỏi Thường Gặp
Vì sao lại phải trục căn thức? Vì nó đưa biểu thức về dạng chuẩn, giúp việc so sánh, cộng trừ và chấm điểm dễ dàng hơn; trước đây nó còn giúp ước lượng giá trị thập phân bằng tay đơn giản hơn nhiều.
Nếu \(c^{2} - d\) là số âm thì sao? Hoàn toàn không vấn đề gì — mẫu số vẫn là số hữu tỉ; chỉ là dấu bị đổi mà thôi, giống như trong ví dụ ở trên.
\(b\) có bắt buộc phải là số chính phương không? Không. Nếu \(b\) là số chính phương thì sẽ không còn căn thức nào để khử, nhưng phương pháp vẫn áp dụng được cho mọi giá trị \(b\) dương.
