हर का परिमेयकरण क्या है?
हर का परिमेयकरण बीजगणित की वह तकनीक है जिसमें किसी भिन्न को इस तरह दोबारा लिखा जाता है कि उसके हर (नीचे वाले हिस्से) में कोई करणी (वर्गमूल) न बचे। यूँ तो \(1/\sqrt{2}\) जैसा मान पूरी तरह सही है, पर इसका मानक सरलीकृत रूप \(\sqrt{2}/2\) माना जाता है। यह कैलकुलेटर दो आम स्थितियों को संभालता है: केवल एक करणी वाला हर \(a/\sqrt{b}\) और द्विपद (संयुग्मी) हर \(a/(c+\sqrt{d})\)।
इस कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें
सबसे पहले हर का प्रकार चुनें। साधारण स्थिति के लिए अंश a और वर्गमूल के नीचे का मान b डालें। संयुग्मी स्थिति के लिए a, परिमेय भाग c, और मूल के नीचे का मान d भरें। यह उपकरण आपको परिमेयकृत हर और पूरे व्यंजक का सटीक दशमलव मान दिखाता है, जिससे आप अपनी हाथ से की गई गणना की जाँच कर सकते हैं।
सूत्र की व्याख्या
केवल एक करणी होने पर अंश और हर दोनों को \(\sqrt{b}\) से गुणा करें: चूँकि \(\sqrt{b}\cdot\sqrt{b} = b\) होता है, इसलिए हर एक पूर्ण संख्या \(b\) बन जाता है और परिणाम \(a\sqrt{b}/b\) आता है।
$$\frac{a}{\sqrt{b}} = \frac{a\,\sqrt{b}}{b}$$द्विपद हर के लिए उसे उसके संयुग्मी \(c-\sqrt{d}\) से गुणा करें। वर्गों के अंतर वाले पैटर्न \((c+\sqrt{d})(c-\sqrt{d}) = c^{2} - d\) का उपयोग करने पर करणी कट जाती है और हर एक परिमेय संख्या \(c^{2} - d\) बन जाता है।
$$\frac{a}{c + \sqrt{d}} = \frac{a\left(c - \sqrt{d}\right)}{c^{2} - d}$$
हल किया गया उदाहरण
मान लीजिए \(6/(1+\sqrt{3})\)। इसका संयुग्मी है \(1-\sqrt{3}\), और नया हर बनता है \(1^{2} - 3 = -2\)। तो यह व्यंजक बराबर है
$$\frac{6(1-\sqrt{3})}{-2} = -3(1-\sqrt{3}) = 3\sqrt{3} - 3 \approx 2.196$$कैलकुलेटर यह दशमलव मान अपने आप दे देता है।
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
परिमेयकरण करना ज़रूरी क्यों है? इससे एक मानक रूप मिलता है जिसकी तुलना करना, जोड़ना और जाँचना आसान होता है, और पुराने ज़माने में इससे हाथ से दशमलव का अनुमान लगाना भी सरल हो जाता था।
अगर \(c^{2} - d\) ऋणात्मक आ जाए तो? कोई बात नहीं — हर फिर भी परिमेय ही रहता है; बस चिह्न बदल जाता है, जैसा ऊपर के उदाहरण में हुआ।
क्या \(b\) का पूर्ण वर्ग होना ज़रूरी है? नहीं। अगर \(b\) पूर्ण वर्ग हो तो हटाने के लिए कोई करणी ही नहीं रहती, पर यह विधि किसी भी धनात्मक \(b\) के लिए काम करती है।
