दूरी सूत्र क्या है?
दूरी सूत्र किसी द्विविमीय निर्देशांक तल पर दो बिंदुओं के बीच की सीधी रेखा (यूक्लिडीय) दूरी निकालता है। जब आपके पास दो बिंदु \((x_1, y_1)\) और \((x_2, y_2)\) हों, तो यह उन्हें जोड़ने वाले रेखाखंड की लंबाई बता देता है। दरअसल यह सूत्र पाइथागोरस प्रमेय का ही सीधा रूप है — यहाँ बिंदुओं के बीच का क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर अंतर समकोण त्रिभुज की दो भुजाएँ बनाते हैं और उनके बीच की दूरी कर्ण बन जाती है।
इस कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें
पहले बिंदु के निर्देशांक \(x_1\) और \(y_1\) में डालें, तथा दूसरे बिंदु के निर्देशांक \(x_2\) और \(y_2\) में भरें। आप दशमलव और ऋणात्मक संख्याएँ बेझिझक उपयोग कर सकते हैं। "गणना करें" पर क्लिक करते ही टूल आपको दूरी के साथ-साथ क्षैतिज अंतर (Δx) और ऊर्ध्वाधर अंतर (Δy) भी दिखा देता है, ताकि आप हर चरण की जाँच कर सकें।
सूत्र की व्याख्या
दूरी \(d\) इस तरह निकलती है: $$d = \sqrt{\left(x_2 - x_1\right)^2 + \left(y_2 - y_1\right)^2}$$ सबसे पहले x-निर्देशांकों को घटाकर क्षैतिज अंतर निकालें और y-निर्देशांकों को घटाकर ऊर्ध्वाधर अंतर। फिर दोनों अंतरों का वर्ग करें (इससे कोई भी ऋण चिह्न अपने आप हट जाता है), उन्हें जोड़ें, और इस योग का वर्गमूल लेने पर आपको दूरी मिल जाती है।
हल किया हुआ उदाहरण
मान लीजिए \((1, 2)\) और \((4, 6)\) के बीच की दूरी निकालनी है। यहाँ \(\Delta x = 4 - 1 = 3\) और \(\Delta y = 6 - 2 = 4\) होगा। दोनों का वर्ग करने पर 9 और 16 मिलते हैं, जिनका योग 25 है। 25 का वर्गमूल 5 होता है, इसलिए दोनों बिंदुओं के बीच की दूरी ठीक 5 इकाई है — यानी वही प्रसिद्ध 3-4-5 वाला समकोण त्रिभुज।
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
क्या बिंदुओं का क्रम मायने रखता है? नहीं। चूँकि अंतरों का वर्ग किया जाता है, इसलिए बिंदुओं को आपस में बदल देने पर भी दूरी वही रहती है।
क्या मैं ऋणात्मक निर्देशांक उपयोग कर सकता हूँ? हाँ। ऋणात्मक मानों को सही तरीके से संभाला जाता है; वर्ग करने वाला चरण हर अंतर को धनात्मक बना देता है।
क्या यह पाइथागोरस प्रमेय जैसा ही है? हाँ — दूरी सूत्र असल में दो बिंदुओं के निर्देशांकों के अंतर पर लागू की गई पाइथागोरस प्रमेय ही है।
