分子有理化的作用
分子有理化是對分數進行改寫，使分子上不再含有平方根。它是分母有理化的鏡像操作，也是微積分中化簡極限的標準技巧——若分子中出現像 \(\sqrt{x+h} - \sqrt x\) 這樣的根式差，否則會產生難以處理的 0/0 形式。本計算器可處理兩種形式：單根號分子 \(\sqrt a / b\) 以及二項式（共軛）分子 \((c + \sqrt d) / b\)。
使用方法
選擇分子類型。對於簡單情形，輸入平方根下的數值 a 與分母 b。對於共軛情形，輸入有理部分 c、根號下的數值 d 以及分母 b。此工具會回傳有理化後（不含根號）的分子，以及整個運算式的精確小數值——由於你只是乘以了等於 1 的形式，這個值始終不變。
公式解析
對於單一根號，將分子與分母同時乘以 \(\sqrt a\)。由於 \(\sqrt a \cdot \sqrt a = a\)，分子便成為有理數 a：
$$\frac{\sqrt a}{b} = \frac{a}{b\,\sqrt a}$$對於二項式分子，乘以共軛式 \(c - \sqrt d\)。平方差公式 \((c + \sqrt d)(c - \sqrt d) = c^2 - d\) 消去了根號，於是分子成為有理數 \(c^2 - d\)：
$$\frac{c + \sqrt d}{b} = \frac{c^2 - d}{b\left(c - \sqrt d\right)}$$範例演算
取 \((2 + \sqrt 3) / 5\)。其分子的共軛式為 \(2 - \sqrt 3\)，新分子為 \(2^2 - 3 = 1\)。因此該運算式等於
$$\frac{2 + \sqrt 3}{5} = \frac{1}{5\left(2 - \sqrt 3\right)} \approx 0.7464.$$根號已從分子中移出，而小數值維持不變。計算器給出有理化後的分子 1 以及數值 0.7464。
常見問題
為什麼要將分子有理化？ 這是求解諸如 \(\lim_{h \to 0} (\sqrt{x+h} - \sqrt x)/h\) 這類極限的關鍵步驟；消去上方的根號可約去 h，並消除 0/0 形式。
有理化會改變數值嗎？ 不會。你乘以的是共軛式除以自身，其值等於 1，因此數值維持不變，僅書寫形式發生改變。
如果 c 的平方減 d 為負數怎麼辦？ 沒有問題。有理化後的分子仍是有理數；負號只是自然地保留下來，小數值依然正確。
