Payı Rasyonelleştirmek Ne Yapar
Payı rasyonelleştirmek, bir kesri üstünde hiç karekök kalmayacak şekilde yeniden yazar. Bu, paydayı rasyonelleştirmenin ayna görüntüsüdür ve kalkülüste limitleri sadeleştirmek için kullanılan standart hiledir; burada payda yer alan \(\sqrt{x+h} - \sqrt x\) gibi bir kök farkı aksi halde inatçı bir 0/0 biçimi oluşturur. Bu hesaplayıcı iki biçimi ele alır: tek köklü bir pay \(\sqrt a / b\) ve iki terimli (eşlenik) bir pay \((c + \sqrt d) / b\).
Nasıl Kullanılır
Pay türünü seçin. Basit durum için karekök altındaki a değerini ve payda b değerini girin. Eşlenik durumu için rasyonel kısım c, kök altındaki d değerini ve payda b değerini girin. Araç, rasyonelleştirilmiş (kök içermeyen) payı ve ifadenin tamamının tam ondalık değerini döndürür; bu değer hiç değişmez çünkü 1'in bir biçimiyle çarpıyorsunuz.
Formülün Açıklaması
Tek bir kök için, üstü ve altı \(\sqrt a\) ile çarpın. \(\sqrt a \cdot \sqrt a = a\) olduğundan, pay a rasyonel sayısına dönüşür:
$$\frac{\sqrt a}{b} = \frac{a}{b\,\sqrt a}$$İki terimli bir pay için, eşlenik \(c - \sqrt d\) ile çarpın. Kareler farkı örüntüsü \((c + \sqrt d)(c - \sqrt d) = c^2 - d\) kökü temizler, böylece pay \(c^2 - d\) rasyonel sayısına dönüşür:
$$\frac{c + \sqrt d}{b} = \frac{c^2 - d}{b\left(c - \sqrt d\right)}$$Çözümlü Örnek
\((2 + \sqrt 3) / 5\) ifadesini alın. Payın eşleniği \(2 - \sqrt 3\) olup yeni pay \(2^2 - 3 = 1\) olur. Böylece ifade şuna eşittir
$$\frac{2 + \sqrt 3}{5} = \frac{1}{5\left(2 - \sqrt 3\right)} \approx 0.7464.$$Kök paydan çıkmıştır ve ondalık değer değişmemiştir. Hesaplayıcı, rasyonelleştirilmiş pay 1'i ve 0.7464 değerini bildirir.
Sıkça Sorulan Sorular
Payı neden rasyonelleştireyim? Bu, \(\lim_{h \to 0} (\sqrt{x+h} - \sqrt x)/h\) gibi limitleri değerlendirmenin anahtar adımıdır; üstteki kökü temizlemek h'yi sadeleştirir ve 0/0 biçimini ortadan kaldırır.
Rasyonelleştirmek değeri değiştirir mi? Hayır. Eşleniği kendisine bölerek, yani 1'e eşit bir ifadeyle çarparsınız; bu yüzden sayı aynı kalır ve yalnızca yazılış biçimi değişir.
c kare eksi d negatifse ne olur? Sorun değil. Rasyonelleştirilmiş pay yine bir rasyonel sayıdır; negatif işaret basitçe taşınır ve ondalık değer doğru kalır.
