Что делает рационализация числителя
Рационализация числителя переписывает дробь так, чтобы сверху не осталось квадратного корня. Это зеркальное отражение рационализации знаменателя и стандартный приём для упрощения пределов в математическом анализе, где разность с корнями вида \(\sqrt{x+h} - \sqrt x\) в числителе иначе создаёт упрямую неопределённость 0/0. Этот калькулятор работает с двумя формами: числитель с одним корнем \(\sqrt a / b\) и двучленный (сопряжённый) числитель \((c + \sqrt d) / b\).
Как пользоваться
Выберите тип числителя. Для простого случая введите значение a под квадратным корнем и знаменатель b. Для случая с сопряжённым введите рациональную часть c, значение d под корнем и знаменатель b. Инструмент возвращает рационализированный (без корня) числитель и точное десятичное значение всего выражения, которое никогда не меняется, потому что вы умножаете на форму единицы.
Разбор формулы
Для одного корня умножьте числитель и знаменатель на \(\sqrt a\). Поскольку \(\sqrt a \cdot \sqrt a = a\), числитель становится рациональным числом a:
$$\frac{\sqrt a}{b} = \frac{a}{b\,\sqrt a}$$Для двучленного числителя умножьте на сопряжённое \(c - \sqrt d\). Формула разности квадратов \((c + \sqrt d)(c - \sqrt d) = c^2 - d\) устраняет корень, поэтому числитель становится рациональным числом \(c^2 - d\):
$$\frac{c + \sqrt d}{b} = \frac{c^2 - d}{b\left(c - \sqrt d\right)}$$Разобранный пример
Возьмём \((2 + \sqrt 3) / 5\). Сопряжённое к числителю — \(2 - \sqrt 3\), а новый числитель равен \(2^2 - 3 = 1\). Значит, выражение равно
$$\frac{2 + \sqrt 3}{5} = \frac{1}{5\left(2 - \sqrt 3\right)} \approx 0.7464.$$Корень ушёл из числителя, а десятичное значение не изменилось. Калькулятор сообщает рационализированный числитель 1 и значение 0.7464.
Часто задаваемые вопросы
Зачем рационализировать числитель? Это ключевой шаг для вычисления пределов вроде \(\lim_{h \to 0} (\sqrt{x+h} - \sqrt x)/h\); устранение корня сверху сокращает h и убирает неопределённость 0/0.
Меняет ли рационализация значение? Нет. Вы умножаете на сопряжённое, делённое само на себя, что равно 1, поэтому число остаётся прежним, меняется только его запись.
Что если c в квадрате минус d отрицательно? Это нормально. Рационализированный числитель по-прежнему рациональное число; знак минус просто переносится, а десятичное значение остаётся верным.
