Qué hace racionalizar el numerador
Racionalizar el numerador reescribe una fracción para que no quede ninguna raíz cuadrada en la parte superior. Es la imagen especular de racionalizar el denominador y es el truco estándar para simplificar límites en cálculo, donde una diferencia de radicales como \(\sqrt{x+h} - \sqrt x\) en el numerador crearía de otro modo una tenaz forma 0/0. Esta calculadora maneja dos formas: un numerador con un solo radical \(\sqrt a / b\) y un numerador binomial (conjugado) \((c + \sqrt d) / b\).
Cómo usarla
Elige el tipo de numerador. Para el caso simple, introduce el valor a bajo la raíz cuadrada y el denominador b. Para el caso del conjugado, introduce la parte racional c, el valor d bajo la raíz y el denominador b. La herramienta devuelve el numerador racionalizado (sin radicales) y el valor decimal exacto de toda la expresión, que nunca cambia porque estás multiplicando por una forma de 1.
La fórmula explicada
Para un solo radical, multiplica el numerador y el denominador por \(\sqrt a\). Como \(\sqrt a \cdot \sqrt a = a\), el numerador se convierte en el número racional a:
$$\frac{\sqrt a}{b} = \frac{a}{b\,\sqrt a}$$Para un numerador binomial, multiplica por el conjugado \(c - \sqrt d\). El patrón de diferencia de cuadrados \((c + \sqrt d)(c - \sqrt d) = c^2 - d\) elimina el radical, por lo que el numerador se convierte en el número racional \(c^2 - d\):
$$\frac{c + \sqrt d}{b} = \frac{c^2 - d}{b\left(c - \sqrt d\right)}$$Ejemplo resuelto
Toma \((2 + \sqrt 3) / 5\). El conjugado del numerador es \(2 - \sqrt 3\), y el nuevo numerador es \(2^2 - 3 = 1\). Así que la expresión es igual a
$$\frac{2 + \sqrt 3}{5} = \frac{1}{5\left(2 - \sqrt 3\right)} \approx 0.7464.$$El radical ha salido del numerador y el valor decimal no cambia. La calculadora indica el numerador racionalizado 1 y el valor 0.7464.
Preguntas frecuentes
¿Por qué racionalizaría el numerador? Es el paso clave para evaluar límites como \(\lim_{h \to 0} (\sqrt{x+h} - \sqrt x)/h\); eliminar el radical de la parte superior cancela la h y elimina la forma 0/0.
¿Racionalizar cambia el valor? No. Multiplicas por el conjugado sobre sí mismo, que es igual a 1, por lo que el número permanece igual y solo cambia su forma escrita.
¿Y si c al cuadrado menos d es negativo? No hay problema. El numerador racionalizado sigue siendo un número racional; un signo negativo simplemente se arrastra y el valor decimal sigue siendo correcto.
