ماذا يفعل ترشيد البسط
يعيد ترشيد البسط كتابة الكسر بحيث لا يبقى أي جذر تربيعي في الأعلى. وهو الصورة المعاكسة لترشيد المقام، وهو الحيلة المعتادة لتبسيط النهايات في التفاضل والتكامل، حيث يؤدي فرقٌ جذري مثل \(\sqrt{x+h} - \sqrt x\) في البسط إلى صيغة 0/0 عنيدة. تتعامل هذه الحاسبة مع شكلين: بسط بجذر واحد \(\sqrt a / b\) وبسط ثنائي الحدود (مرافق) \((c + \sqrt d) / b\).
كيفية الاستخدام
اختر نوع البسط. في الحالة البسيطة أدخل القيمة a تحت الجذر التربيعي والمقام b. في حالة المرافق أدخل الجزء النسبي c والقيمة d تحت الجذر والمقام b. تُرجع الأداة البسط المُرشَّد (الخالي من الجذر) والقيمة العشرية الدقيقة للمقدار بأكمله، وهي قيمة لا تتغير أبدًا لأنك تضرب في صورة من صور العدد 1.
شرح الصيغة
في حالة الجذر الواحد، اضرب الأعلى والأسفل في \(\sqrt a\). وبما أن \(\sqrt a \cdot \sqrt a = a\)، يصبح البسط هو العدد النسبي a:
$$\frac{\sqrt a}{b} = \frac{a}{b\,\sqrt a}$$في حالة البسط ثنائي الحدود، اضرب في المرافق \(c - \sqrt d\). نمط الفرق بين مربعين \((c + \sqrt d)(c - \sqrt d) = c^2 - d\) يزيل الجذر، فيصبح البسط هو العدد النسبي \(c^2 - d\):
$$\frac{c + \sqrt d}{b} = \frac{c^2 - d}{b\left(c - \sqrt d\right)}$$مثال محلول
خذ \((2 + \sqrt 3) / 5\). مرافق البسط هو \(2 - \sqrt 3\)، والبسط الجديد هو \(2^2 - 3 = 1\). إذن يساوي المقدار
$$\frac{2 + \sqrt 3}{5} = \frac{1}{5\left(2 - \sqrt 3\right)} \approx 0.7464.$$لقد خرج الجذر من البسط، والقيمة العشرية لم تتغير. تُبلِّغ الحاسبة عن البسط المُرشَّد 1 والقيمة 0.7464.
الأسئلة الشائعة
لماذا قد أرشِّد البسط؟ إنها الخطوة الأساسية لحساب نهايات مثل \(\lim_{h \to 0} (\sqrt{x+h} - \sqrt x)/h\)؛ فإزالة الجذر من الأعلى تختصر h وتزيل صيغة 0/0.
هل يغيّر الترشيد القيمة؟ لا. أنت تضرب في المرافق مقسومًا على نفسه، وهو ما يساوي 1، فيبقى العدد كما هو ويتغير شكله المكتوب فقط.
ماذا لو كان c تربيع ناقص d سالبًا؟ لا بأس بذلك. يبقى البسط المُرشَّد عددًا نسبيًا؛ فالإشارة السالبة تنتقل ببساطة، وتبقى القيمة العشرية صحيحة.
