分子有理化的作用
分子有理化是对分数进行改写，使分子上不再含有平方根。它是分母有理化的镜像操作，也是微积分中化简极限的标准技巧——若分子中出现像 \(\sqrt{x+h} - \sqrt x\) 这样的根式差，否则会产生难以处理的 0/0 形式。本计算器可处理两种形式：单根号分子 \(\sqrt a / b\) 以及二项式（共轭）分子 \((c + \sqrt d) / b\)。
使用方法
选择分子类型。对于简单情形，输入平方根下的数值 a 和分母 b。对于共轭情形，输入有理部分 c、根号下的数值 d 以及分母 b。该工具会返回有理化后（不含根号）的分子，以及整个表达式的精确小数值——由于你只是乘以了等于 1 的形式，这个值始终不变。
公式解析
对于单个根号，将分子与分母同时乘以 \(\sqrt a\)。由于 \(\sqrt a \cdot \sqrt a = a\)，分子便变为有理数 a：
$$\frac{\sqrt a}{b} = \frac{a}{b\,\sqrt a}$$对于二项式分子，乘以共轭式 \(c - \sqrt d\)。平方差公式 \((c + \sqrt d)(c - \sqrt d) = c^2 - d\) 消去了根号，于是分子变为有理数 \(c^2 - d\)：
$$\frac{c + \sqrt d}{b} = \frac{c^2 - d}{b\left(c - \sqrt d\right)}$$示例演算
取 \((2 + \sqrt 3) / 5\)。其分子的共轭式为 \(2 - \sqrt 3\)，新分子为 \(2^2 - 3 = 1\)。因此该表达式等于
$$\frac{2 + \sqrt 3}{5} = \frac{1}{5\left(2 - \sqrt 3\right)} \approx 0.7464.$$根号已从分子中移出，而小数值保持不变。计算器给出有理化后的分子 1 以及数值 0.7464。
常见问题
为什么要将分子有理化？ 这是求解诸如 \(\lim_{h \to 0} (\sqrt{x+h} - \sqrt x)/h\) 这类极限的关键步骤；消去上方的根号可约去 h，并消除 0/0 形式。
有理化会改变数值吗？ 不会。你乘以的是共轭式除以自身，其值等于 1，因此数值保持不变，仅书写形式发生改变。
如果 c 的平方减 d 为负数怎么办？ 没有问题。有理化后的分子仍是有理数；负号只是自然地保留下来，小数值依然正确。
