Ce que fait la rationalisation du numérateur
Rationaliser le numérateur réécrit une fraction de sorte qu'aucune racine carrée ne subsiste en haut. C'est l'image miroir de la rationalisation du dénominateur, et c'est l'astuce standard pour simplifier les limites en analyse, où une différence de radicaux comme \(\sqrt{x+h} - \sqrt x\) au numérateur crée sinon une forme 0/0 tenace. Ce calculateur traite deux formes : un numérateur à radical unique \(\sqrt a / b\) et un numérateur binôme (conjugué) \((c + \sqrt d) / b\).
Comment l'utiliser
Choisissez le type de numérateur. Pour le cas simple, saisissez la valeur a sous la racine carrée et le dénominateur b. Pour le cas du conjugué, saisissez la partie rationnelle c, la valeur d sous la racine et le dénominateur b. L'outil renvoie le numérateur rationalisé (sans radical) et la valeur décimale exacte de l'expression entière, qui ne change jamais puisque vous multipliez par une forme de 1.
La formule expliquée
Pour un radical unique, multipliez le haut et le bas par \(\sqrt a\). Comme \(\sqrt a \cdot \sqrt a = a\), le numérateur devient le nombre rationnel a :
$$\frac{\sqrt a}{b} = \frac{a}{b\,\sqrt a}$$Pour un numérateur binôme, multipliez par le conjugué \(c - \sqrt d\). Le motif de différence de carrés \((c + \sqrt d)(c - \sqrt d) = c^2 - d\) élimine le radical, de sorte que le numérateur devient le nombre rationnel \(c^2 - d\) :
$$\frac{c + \sqrt d}{b} = \frac{c^2 - d}{b\left(c - \sqrt d\right)}$$Exemple résolu
Prenons \((2 + \sqrt 3) / 5\). Le conjugué du numérateur est \(2 - \sqrt 3\), et le nouveau numérateur est \(2^2 - 3 = 1\). L'expression vaut donc
$$\frac{2 + \sqrt 3}{5} = \frac{1}{5\left(2 - \sqrt 3\right)} \approx 0.7464.$$Le radical a quitté le numérateur, et la valeur décimale est inchangée. Le calculateur indique le numérateur rationalisé 1 et la valeur 0.7464.
Foire aux questions
Pourquoi rationaliser le numérateur ? C'est l'étape clé pour évaluer des limites telles que \(\lim_{h \to 0} (\sqrt{x+h} - \sqrt x)/h\) ; éliminer le radical en haut annule le h et supprime la forme 0/0.
La rationalisation change-t-elle la valeur ? Non. Vous multipliez par le conjugué sur lui-même, ce qui vaut 1, donc le nombre reste identique et seule sa forme écrite change.
Et si c au carré moins d est négatif ? Ce n'est pas un problème. Le numérateur rationalisé reste un nombre rationnel ; un signe négatif se propage simplement, et la valeur décimale reste correcte.
