Calculateur de rationalisation du dénominateur

Entrez le calcul

Type de dénominateur Simple: a / √b Conjugate: a / (c + √d)

Numérateur a

b (sous la racine, cas simple)

c (partie rationnelle, conjugué)

d (sous la racine, conjugué)

Résultats

Valeur décimale de l'expression

0,707107

après rationalisation du dénominateur

Dénominateur rationalisé	2

Qu'est-ce que la rationalisation du dénominateur ?

Rationaliser le dénominateur est une technique d'algèbre qui consiste à réécrire une fraction afin qu'aucun radical (racine carrée) ne subsiste au dénominateur. Même si une expression comme \(1/\sqrt{2}\) est tout à fait correcte, la forme simplifiée standard reste \(\sqrt{2}/2\). Ce calculateur traite deux cas courants : un dénominateur à radical unique \(a/\sqrt{b}\) et un dénominateur binomial (à conjugué) \(a/(c+\sqrt{d})\).

La rationalisation supprime le radical du dénominateur tout en conservant la même valeur.

Comment utiliser ce calculateur

Sélectionnez le type de dénominateur. Pour le cas simple, saisissez le numérateur a et la valeur b placée sous la racine carrée. Pour le cas avec conjugué, renseignez a, la partie rationnelle c et la valeur d sous la racine. L'outil affiche le dénominateur rationalisé ainsi que la valeur décimale exacte de l'expression complète, ce qui vous permet de vérifier vos calculs effectués à la main.

La formule expliquée

Pour un radical unique, multipliez le numérateur et le dénominateur par \(\sqrt{b}\) : comme \(\sqrt{b}\cdot\sqrt{b} = b\), le dénominateur devient le nombre entier \(b\), ce qui donne :

$$\frac{a}{\sqrt{b}} = \frac{a\,\sqrt{b}}{b}$$

Pour un dénominateur binomial, multipliez par le conjugué \(c-\sqrt{d}\). En appliquant l'identité remarquable \((c+\sqrt{d})(c-\sqrt{d}) = c^{2} - d\), le radical s'annule et le dénominateur devient le nombre rationnel \(c^{2} - d\) :

$$\frac{a}{c + \sqrt{d}} = \frac{a\left(c - \sqrt{d}\right)}{c^{2} - d}$$

Multiplie par le conjugué sur lui-même pour éliminer le radical grâce à la différence de carrés.

Exemple résolu

Prenons \(6/(1+\sqrt{3})\). Le conjugué est \(1-\sqrt{3}\), et le nouveau dénominateur vaut \(1^{2} - 3 = -2\). L'expression est donc égale à :

$$\frac{6(1-\sqrt{3})}{-2} = -3(1-\sqrt{3}) = 3\sqrt{3} - 3 \approx 2{,}196$$

Le calculateur renvoie automatiquement cette valeur décimale.

Foire aux questions

Pourquoi rationaliser le dénominateur ? Cette opération produit une forme standard plus facile à comparer, à additionner et à corriger ; historiquement, elle simplifiait aussi l'estimation manuelle de la valeur décimale.

Que faire si \(c^{2} - d\) est négatif ? Aucun problème : le dénominateur reste rationnel, seul le signe change, comme dans l'exemple ci-dessus.

\(b\) doit-il être un carré parfait ? Non. Si \(b\) est un carré parfait, il n'y a aucun radical à éliminer, mais la méthode fonctionne tout de même pour n'importe quel \(b\) positif.