분모의 유리화란?
분모의 유리화는 분수의 분모에 근호(제곱근)가 남지 않도록 식을 다시 쓰는 대수 기법입니다. \(1/\sqrt{2}\) 같은 값도 그 자체로는 틀린 표현이 아니지만, 표준적인 정리 형태는 \(\sqrt{2}/2\)입니다. 이 계산기는 자주 쓰이는 두 가지 경우를 처리합니다. 하나는 단일 근호 분모 \(a/\sqrt{b}\)이고, 다른 하나는 이항(켤레) 분모 \(a/(c+\sqrt{d})\)입니다.
계산기 사용 방법
먼저 분모의 형태를 선택하세요. 단순한 경우에는 분자 a와 제곱근 안의 값 b를 입력합니다. 켤레를 이용하는 경우에는 a, 유리수 부분 c, 그리고 근호 안의 값 d를 입력하면 됩니다. 계산기는 유리화된 분모와 함께 식 전체의 정확한 소수 값을 보여 주므로, 직접 손으로 푼 계산을 검산하는 데 활용할 수 있습니다.
공식 풀이
단일 근호의 경우, 분자와 분모에 \(\sqrt{b}\)를 곱합니다. \(\sqrt{b}\cdot\sqrt{b} = b\)이므로 분모는 정수 \(b\)가 되어 \(a\sqrt{b}/b\) 형태가 됩니다.
$$\frac{a}{\sqrt{b}} = \frac{a\,\sqrt{b}}{b}$$이항 분모의 경우에는 켤레인 \(c-\sqrt{d}\)를 곱합니다. 합차 공식 \((c+\sqrt{d})(c-\sqrt{d}) = c^{2} - d\)를 이용하면 근호가 사라지고 분모는 유리수 \(c^{2} - d\)가 됩니다.
$$\frac{a}{c + \sqrt{d}} = \frac{a\left(c - \sqrt{d}\right)}{c^{2} - d}$$
예제 풀이
\(6/(1+\sqrt{3})\)을 살펴봅시다. 켤레는 \(1-\sqrt{3}\)이고, 새 분모는 \(1^{2} - 3 = -2\)가 됩니다. 따라서 식은 다음과 같이 됩니다.
$$\frac{6(1-\sqrt{3})}{-2} = -3(1-\sqrt{3}) = 3\sqrt{3} - 3 \approx 2.196$$계산기는 이 소수 값을 자동으로 구해 줍니다.
자주 묻는 질문
왜 유리화를 해야 하나요? 유리화하면 비교, 덧셈, 채점이 더 쉬운 표준 형태가 됩니다. 또한 과거에는 손으로 소수 근삿값을 계산할 때 훨씬 편리했습니다.
c² − d가 음수면 어떻게 되나요? 괜찮습니다. 분모는 여전히 유리수이며, 위 예제처럼 부호만 바뀔 뿐입니다.
b가 반드시 완전제곱수여야 하나요? 아닙니다. b가 완전제곱수라면 제거할 근호 자체가 없지만, 이 방법은 양수인 어떤 b에도 그대로 적용됩니다.
