분자 유리화란
분자 유리화는 분수의 위쪽에 제곱근이 남지 않도록 다시 쓰는 것입니다. 이는 분모 유리화의 거울상이며, 미적분에서 극한을 간단히 하는 표준 기법입니다. 분자에 \(\sqrt{x+h} - \sqrt x\)와 같은 근호 차가 있으면 그대로 두면 성가신 0/0 꼴이 됩니다. 이 계산기는 두 가지 형태를 다룹니다. 하나의 근호를 가진 분자 \(\sqrt a / b\)와 이항(켤레) 분자 \((c + \sqrt d) / b\)입니다.
사용 방법
분자 유형을 선택하세요. 간단한 경우에는 제곱근 아래의 값 a와 분모 b를 입력합니다. 켤레의 경우에는 유리 부분 c, 근호 아래의 값 d, 분모 b를 입력합니다. 이 도구는 유리화된(근호 없는) 분자와 식 전체의 정확한 소수 값을 반환하며, 1의 한 형태를 곱하는 것이므로 이 값은 결코 변하지 않습니다.
공식 설명
하나의 근호의 경우 분자와 분모에 \(\sqrt a\)를 곱합니다. \(\sqrt a \cdot \sqrt a = a\)이므로 분자는 유리수 a가 됩니다:
$$\frac{\sqrt a}{b} = \frac{a}{b\,\sqrt a}$$이항 분자의 경우 켤레 \(c - \sqrt d\)를 곱합니다. 제곱의 차 공식 \((c + \sqrt d)(c - \sqrt d) = c^2 - d\)가 근호를 없애므로 분자는 유리수 \(c^2 - d\)가 됩니다:
$$\frac{c + \sqrt d}{b} = \frac{c^2 - d}{b\left(c - \sqrt d\right)}$$풀이 예제
\((2 + \sqrt 3) / 5\)를 봅시다. 분자의 켤레는 \(2 - \sqrt 3\)이고, 새 분자는 \(2^2 - 3 = 1\)입니다. 따라서 이 식은 다음과 같습니다.
$$\frac{2 + \sqrt 3}{5} = \frac{1}{5\left(2 - \sqrt 3\right)} \approx 0.7464.$$근호가 분자에서 빠져나갔고, 소수 값은 변하지 않았습니다. 계산기는 유리화된 분자 1과 값 0.7464를 알려줍니다.
자주 묻는 질문
분자를 왜 유리화하나요? \(\lim_{h \to 0} (\sqrt{x+h} - \sqrt x)/h\)와 같은 극한을 계산하는 핵심 단계입니다. 위쪽의 근호를 없애면 h가 약분되어 0/0 꼴이 사라집니다.
유리화하면 값이 바뀌나요? 아니요. 켤레를 그 자신으로 나눈 것, 즉 1을 곱하는 것이므로 수는 그대로이고 표기 형태만 바뀝니다.
c 제곱에서 d를 뺀 값이 음수이면 어떻게 되나요? 괜찮습니다. 유리화된 분자는 여전히 유리수입니다. 음수 부호는 그대로 이어지고, 소수 값은 정확하게 유지됩니다.
